「整数」について

　私立 明治大学 2011年 第3問

自然数n,kについて，xy平面上で0≦y≦xとy≦2n+k-xで定まる領域をCkとする．ある整数a,bに対して，(a,b)，(a+k,b)，(a,b+k)，(a+k,b+k)を頂点にもつ正方形を1辺がkの格子点の正方形と呼ぶ事にする．Ckに入る格子点の正方形を考える（Ckの境界も含める）．このとき，次の問いに答えよ．
(1)n=4のとき，Ck内に1辺がkの格子点の正方形が存在するための，最大のkをもとめよ．
(2)1辺がkの格子点の正方形が，Ck内に存在するためのkの条件を，・・・

　私立 名城大学 2011年 第2問

nを整数とし，xについての3次式P(x)=x(x-1)(x-2)-n(n-1)(n-2)を考える．
(1)P(x)をx-nで割ったときの商と余りを求めよ．
(2)n=4のときの方程式P(x)=0の3つの解をα,β,γとする．このとき1/α+1/β+1/γの値を求めよ．
(3)方程式P(x)=0の解がすべて実数となるとき，整数nの値をすべて求めよ．

　私立 龍谷大学 2011年 第3問

三角形OABにおいて，OA=\sqrt{10}，OB=1，AB=√5とする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOBとおく．nを整数とし，L={|1/4ベクトルa|+n\vectit{b}}2を考える．
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めなさい．
(2)Lをnで表しなさい．
(3)Lを最小にする整数nを求めなさい．

　私立 西南学院大学 2011年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)253を計算して，その答えをA×103+625の形に表したとき，Aの値を求めよ．ただし，Aは0以上の整数とする．
(2)2以上の自然数nに対して，25nの下3桁は625になることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)25^{25}の下4桁の数値を求めよ．

　私立 上智大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)log_{10}x+log_{10}y-log_{10}(y+1)=1を満たす整数x,yに対して，
x+y=[ア]　または　[イ]
が成り立つ．ここで[ア]＜[イ]とする．
(2)(100.1)7の100の位の数字は[ウ]であり，小数第4位の数字は[エ]である．
(3)△ABCにおいてAB＞AC，BC=8，cosA=9/40であり，辺BCの中点をMとするとAM=5である．このとき，
AB2+AC^・・・

　私立 上智大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)α={(\frac{413}{8})^{1/2}+6}^{1/3}-{(\frac{413}{8})^{1/2}-6}^{1/3}は整数を係数とする3次方程式
2x3+[ア]x2+[イ]x+[ウ]=0
の解である．
(2)f(x)=x3-4xとする．曲線y=f(x)上に2点P(t-1,f(t-1))，Q(t+1,f(t+1))をとる．線分PQが曲線y=f(x)とP，Q以外の点で交わるためのtの条件は
\frac{\・・・

　私立 上智大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)立方体の各面に1～6の目が1つずつ書かれたサイコロを2つ振って，出た目の大きくない方をxとする．x=2である確率は\frac{[ア]}{[イ]}である．xの期待値は\frac{[ウ]}{[エ]}である．
(2)A=(\begin{array}{cc}
5&11\
3&7
\end{array})とする．行列Aが表す1次変換により，点(3,-2)は点([オ],[カ])に移り，点([キ],[ク])は点(3,1)に移る．
(3)f(x)=x3・・・

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄アに①～④のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数x,yに対して，x2+y2≦1は「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1」であるための何条件かを，①「必要条件」，②「十分条件」，③「必要十分条件」，④「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，[ア]となる．
(2)3x2-xy-2y2-x+6y+kが，x,yの整数係数の1次式の積に因数分解されるとき，k=[イ]である．・・・

　私立 上智大学 2011年 第4問

実数xに対し，xを超えない最大の整数を[x]で表す．
自然数n=1,2,3,・・・に対して，nが[√n]の整数倍で表せるとき，そのようなnを小さいものから順に並べて
n1,n2,n3,・・・
とする．
(1)n5=[マ]である．
(2)自然数pに対して，[√n]=pをみたす自然数nの集合をMpとする．Mpの要素でpの整数倍であるものは全部で[ミ]個ある．
(3)自然数mに対して，
Sm=Σ_{i=1}mni
とおく．k≧1のとき，S_{3k-2}・・・

　私立 上智大学 2011年 第3問

Mを2以上の整数とし，0からM-1までの各整数を書いたカードが1枚ずつ合計M枚，箱の中に入っているものとする．この箱の中から1枚のカードを取り出し，カードに書かれている数を調べて箱に戻す試行を考える．
この試行をn回行ったとき，箱から取り出したn枚のカードに書かれている数の和が偶数である確率をPnで表す．
(1)M=2のとき，Pn=\frac{[ネ]}{[ノ]}である．
(2)M=3のとき，
P1=\frac{[ハ]}{[ヒ]},P2=\frac{\kakko・・・