「整数」について

　私立 中央大学 2011年 第2問

対数関数
f(x)=log2x,g(x)=log_{1/4}x
に対し，3つの不等式
x≧1,y≦f(x),y≧g(x)
によって定められるxy平面上の領域をDとする．また，xy平面上の点P(x,y)でx,yがともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)「Dに属する格子点P(x,y)でx≦8であるもの」の総数を求めよ．
(3)「Dに属する格子点P(x,y)でx≦33,y≧1であるもの」・・・

　私立 久留米大学 2011年 第2問

次の関係を満たす関数を求めよ．ただし，nはn≧0である整数とする．
(1)f0(x)=sinx，f_{n+1}(x)=sinx+∫0^π\frac{2t}{π2}fn(t)dtを満たす関数はfn(x)=[2]である．
(2)f0(x)=x+1，x2f_{n+1}(x)=x3+∫0xtfn(t)dtを満たす関数はfn(x)=[3]である．

　私立 久留米大学 2011年 第4問

整数kに対して，曲線y=4e^{-x}とx軸，および直線x=kとx=k+1とで囲まれた図形の面積をSkとする．同じく，この図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積をVkとする．このとき，Sk=[7]，Vk=[8]であり，無限級数Σ_{n=1}^∞Snは[9]に，Σ_{n=1}^∞Vnは[10]に収束する．

　私立 大同大学 2011年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)2x2-19x+a＜0をみたす実数xが存在するとき，定数aの値の範囲はa＜\frac{[]}{[]}である．2x2-19x+a＜0をみたす整数xがただ1つ存在するとき，その整数xは[]であり，定数aの値の範囲は[]≦a＜[]である．
(2)外接円の半径が16である△ABCにおいてcosB=\frac{√7}{4}，cosC=\frac{3√7}{8}とするとき，sinB=\frac{[]}{[]}，\t・・・

　私立 中央大学 2011年 第1問

以下の設問に答えよ．
(1)整数x1,・・・,x4に対して，
{\begin{array}{l}
x1+x2+x3+x4=14\
xk≧2(k=1,・・・,4)
\end{array}.
となる組(x1,・・・,x4)の総数を求めよ．
(2)整数y1,・・・,y5に対して，
{\begin{array}{l}
y1+y2+y3+y4+y5=7\
yk≧0(k=1,・・・,5)
\end{array}.
となる組(y1,・・・,y5)の総数を求めよ．

　私立 千葉工業大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)2次方程式x2-(2a+1)x-3a+1=0（aは定数）の1つの解がx=-1であるとき，a=[ア]であり，他の解はx=[イ]である．
(2)\frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i（ただし，i2=-1）である．
(3)(x2+3x+2)(x2-3x+2)=x4-[オ]x2+[カ]である．
(4)2n2-9n-5≦0をみたす整数nは全部で[キ]個ある．
(5)10本のくじのうち4本が当たりくじである．この中から，同時に2本のくじを引くとき，少なくとも1本は当たり・・・

　私立 千葉工業大学 2011年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)放物線C:y=x2+ax+bが2直線L1:y=-4x+2，L2:y=2x-1の両方と接している．このとき，a=[アイ]，b=[ウ]であり，CとL1との接点のx座標は[エオ]，CとL2との接点のx座標は[カ]である．
(2)整数を要素とする2つの集合A={2,6,5a-a2}，B={3,4,3a-1,a+b}がある．4が共通部分A∩Bに属するとき，a=[キ]または[ク]（ただし，[キ]＜[ク]）である．さらにA∩B={4,6}であるとき，b=・・・

　私立 産業医科大学 2011年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)角θが0°≦θ≦{90}°，tanθ=4/3を満たすとき，tanθ/2の値は[]である．
(2)4次方程式2x4+7x3+4x2+7x+2=0の実数解のうち最大のものは[]である．
(3)数列の極限\lim_{n→∞}{\sqrt[3]{(n3-n2)2}-2n\sqrt[3]{n3-n2}+n2}の値は[]である．
(4)円x2-8x+y2-8y+30=0に接する傾き1の2・・・

　私立 大阪薬科大学 2011年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)(x+y+1)^{10}の展開式で，x5y3の係数は[]である．
(2)1・2+2・3+3・4+4・5+・・・+n(n+1)=[]である．ただし，nは正の整数である．
(3)△ABCにおいて，sinBsinC=\frac{3bc}{4a2}が成り立つとき，A=[]である．ただし，A=∠CAB，B=∠ABC，C=∠BCA，また，a=BC，b=CA，c=ABである．
(4)a,b,s,tを1でない正の実数とし・・・

　私立 京都薬科大学 2011年 第4問

四面体OABCについて，次の[]にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，[ア]:[イ]，[ウ]:[エ]および[オ]:[カ]については，もっとも簡単な整数比で表すこと．
(1)三角形ABCの重心をG，線分OGを3:2に内分する点をD，直線BDと平面AOCの交点をE，直線OEと直線ACとの交点をFとする．このとき，
ベクトルOG=[]ベクトルOA+[]ベクトルOB+[]ベクトルOC
となり，・・・