「整数」について

　私立 大阪薬科大学 2011年 第3問

次の問いに答えなさい．
1から6までのどの目も同様に確からしく出るサイコロA，B，Cがある．Aを振って出た目をx，Bを振って出た目をy，Cを振って出た目をzとする．
(1)積xyzが奇数である確率は[]である．
(2)(x-y)(y-z)=0となる確率は[]である．
(3)空間のベクトルベクトルa=(x,y,z)に対して，ベクトルaとベクトルp=(2,-1,0)が垂直である確率は[]，ベクトルaとベクトルq=(1,2,3・・・

　私立 神戸薬科大学 2011年 第1問

以下の文中の[]の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．
(1)(x+1)(y+1)(xy+1)+xyを因数分解すると[]である．
(2)0≦x≦πのとき，2sinx=1を満たすxはx=[]である．
(3)L=logab×logbc×logcaの値を計算するとL=[]である．
(4)|m2-30|＜20を満たす整数mは全部で[]個ある．
(5)4次方程式x4+ax3+(a+3)x2+16x+b=0の解のうち2つは1と2である．このとき，a=[]，b=[]であり，残りの解は・・・

　私立 関西学院大学 2011年 第3問

実数xに対して，x以下の最大の整数を[x]と表す．例えば，[1]=1，[5/2]=2である．正の整数nに対してan=[2/3n]とするとき，次の問いに答えよ．
(1)a1からa6までの6つの項を求めよ．
(2)正の整数mに対してΣ_{k=3m-2}^{3m}akを求めよ．
(3)Σ_{k=1}^{3n}akを求めよ．
(4)Σ_{k=1}^{3n}kakを求めよ．

　私立 津田塾大学 2011年 第3問

放物線y=x2をCとし，直線y=mx+nをℓとする．Cとℓは，異なる2点(α,α2)，(β,β2)で交わっている．ただし，α＜βとする．
(1)Cとℓで囲まれた部分の面積をα,βで表せ．
(2)Cとℓで囲まれた部分の面積が9/2であり，かつm≧0，n≧0であるような整数の組(m,n)をすべて求めよ．

　私立 青山学院大学 2011年 第1問

条件0＜a≦bを満たす整数a,bに対して
f(x)=x(x-a)(x-b)-5
とおく．f(x)は(x-k)(x2+lx+m)の形に因数分解されるとする．ただし，k,l,mは整数で，k＞0である．
(1)km=[ア]である．このとき，kの値は[イ]または[ウ]である．ただし，0＜[イ]＜[ウ]とする．
(2)条件を満たすような数の組(a,b,k)は
(\mkakko{エ},\mkakko{オ},\mkakko{カ}),(\mkakko{キ},\mkakko{ク},\mkakko{ケ}),(\mkakko{コ},\mkakko{サ},\mkakko{シ})\・・・

　公立 大阪市立大学 2011年 第4問

N,a,bは正の整数とする．箱の中に赤玉がa個，白玉がb個入っている．箱から無作為に1個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または取り出す回数が2N+2になったら終了する．n回取り出して終わる確率をP(n)とし，p=\frac{a}{a+b},q=\frac{b}{a+b},r=pqとおく．次の問いに答えよ．
(1)P(2j),P(2j+1)(j=1,2,・・・,N)およびP(2N+2)をrを用いて表せ．
(2)偶数回取り出して終わる確率・・・

　公立 大阪市立大学 2011年 第2問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{rr}
1&1\\
-1&3
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
b&1\\
0&b
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
1&1\\
p&q
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)nを正の整数とするとき，Bnを求めよ．
(2)AP=PBが成り立つように，b,p,qの値を求めよ．
(3)nを正の整数とするとき，Anを求めよ．

　公立 大阪市立大学 2011年 第4問

N,a,bは正の整数とする．箱の中に赤玉がa個，白玉がb個入っている．箱から無作為に1個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または取り出す回数が2N+2になったら終了する．n回取り出して終わる確率をP(n)とし，p=\frac{a}{a+b},q=\frac{b}{a+b},r=pqとおく．次の問いに答えよ．
(1)P(2j),P(2j+1)(j=1,2,・・・,N)およびP(2N+2)をrを用いて表せ．
(2)(1-r)Σ_{j=1}Njr^{j-1}=\frac{1-・・・

　公立 高崎経済大学 2011年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)次の方程式を解け．
|x+3|=2x
(2)aを素数とする．2次方程式x2-ax+66=0の2つの解のうち，ただ1つのみが素数であるとき，aの値を求めよ．
(3)△ABCにおいて，A=60°，外接円の半径Rが7のとき，BCの長さを求めよ．
(4)log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771とする．12^{20}は何桁の整数か．
(5)15本のくじの中に当たりくじが3本ある．この中から2本のくじを同時に引くとき，少なくとも1本が当たる確率・・・

　公立 岡山県立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)\sqrt{n2+27}が整数であるような自然数nをすべて求めよ．
(2)aを実数とする．x＞0で定義された連続関数f(x)が，すべてのx＞0に対して
∫1xf(t)dt=(logx)2+a3x-2a-4
を満たすとき，aの値とf(x)を求めよ．