「整数」について

　公立 岡山県立大学 2011年 第4問

次の定積分を求めよ．
(1)∫1e\frac{logx}{x{1+(logx)2}}\;dx
(2)∫0^πx2cosnx\;dx(n　は自然数　)
(3)∫01cosmπx\;cosnπx\;dx(m,n　は0以上の整数　)

　公立 高知工科大学 2011年 第3問

0以上の整数nに対して
an=∫01e^{-x}xndx(n=0,1,2,・・・)
とおく．ここでeは自然対数の底である．次の各問に答えよ．
(1)a0とa1を求めよ．
(2)a_{n+1}とanの間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\frac{an}{n!}=1-1/e(1/0!+1/1!+1/2!+・・・+1/n!)
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\maru{1}0≦an≦a0\qquad\maru{2}\lim_{n→∞}(\f・・・

　公立 高知工科大学 2011年 第4問

行列A=\biggl(\begin{array}{rr}
-1&-4\\
4&7
\end{array}\biggr),E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)に対して，N=A-kEとおく．ただし，kは実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．
(1)N2=Oとなるように，kの値を定めよ．ただし，Oは零行列である．
(2)nを正の整数として，Anを求めよ．
(3)数列{an},{bn}が
a1=b1=1,a_{n+1}=-an-4bn,b_{n+1}=4an+7bn
で与えられるとき，一般項an,bnをそれぞれnを用いて・・・

　公立 兵庫県立大学 2011年 第5問

実数xに対して，n≦x＜n+1を満たす整数nを[x]と書く．\
以下の問に答えなさい．
\img{562272020111}{15}

(1)2つの等式[x]=1,[y]=1が表す領域を図示しなさい．
補足：2つの等式[x]=1,[y]=1が表す領域とは，[x]=1\
および[y]=1を同時に満たす点(x,y)の全体のことである．
(2)等式[y]=[x]が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域Aを表す等式を求めなさい．ただし，領域Aには，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2011年 第1問

等式|x-2y|=y+\sqrt{1-x}+1をみたす整数の組(x,y)をすべて求めよ．

　公立 富山県立大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)nは0または正の整数とする．\comb{n}{0}+3・\comb{n}{1}+32・\comb{n}{2}+・・・+3n・\comb{n}{n}=4nを示せ．
(2)3次方程式x3-x2+2x-1=0の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．

　公立 岐阜薬科大学 2011年 第5問

正n角形（nは3以上の整数）の頂点から重複を許して3点A1，A2，A3を選ぶとき，次の問いに答えよ．
(1)n=6とする．3点A1，A2，A3で，
(i)三角形ができる確率を求めよ．
(ii)直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ．
(2)n=2k（kは3以上の整数）とする．3点A1，A2，A3で，
(i)三角形が・・・

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第1問

0以上の任意の整数iに対して，xのi次式gi(x)をi=0のときg0(x)=1，i≧1のときgi(x)=\frac{x(x+1)・・・(x+i-1)}{i!}と定義する．
(1)f(x)=Σ_{i=0}naixi（但しan≠0）をxに関する実数係数のn(≧0)次式とする．このとき，等式f(x)=Σ_{i=0}ncigi(x)が任意の実数xについて成り立つような実数ci（0≦i≦n，但しcn≠0）が一意的に存在することを証明せよ．
(2)(1)において，n＞0・・・

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第2問

実数の数列{an}_{n=1,2,・・・}は，任意の正整数p,qに対して不等式
|a_{p+q|-ap-aq}＜1
を満たしているとする．
(1)任意の正整数nと，2以上の任意の整数kに対して，不等式
|a_{kn|-kan}＜k-1
が成り立つことを証明せよ．
(2)任意の正整数n,kに対して，不等式
|na_{n+k|-(n+k)an}＜2n+k-2
が成り立つことを証明せよ．

　公立 福岡女子大学 2011年 第3問

箱の中に赤いボールがm個，白いボールがn個入っており，各ボールには異なる名前が付けられている．次の問に答えなさい．
(1)整数lを1≦l≦m+nとする．箱から異なるl個のボールを取り出して並べる順列の総数を求めなさい．
(2)整数kを1≦k≦lとする．(1)の順列のうち，先頭からかぞえてk番目に赤いボールが来る順列の総数を求めなさい．
(3)l人が順番にこの箱からボールを1つずつ取り出し，取り出したボールは元に戻さないとする．k番目の人が赤いボールを取り出す確率を求・・・