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nを5以上の整数とする．座標平面上に原点Oを中心とする半径nの円C1と，点Aを中心とする半径1の円C2がある．C2がC1に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，C2上の点Pが描く曲線を考える．はじめにAは(n+1,0)，Pは(n,0)の位置にあるものとする．Pが(n,0)から出発し，再び(n,0)に戻るまで，Pが描く曲線をCとする．線分OAとx軸の正の部分のなす角がθ(0≦θ≦2π)であるときのPの座・・・
国立 京都大学 2010年 第4問数列{an}は，すべての正の整数nに対して0≦3an≦Σ_{k=1}nakを満たしているとする．このとき，すべてのnに対してan=0であることを示せ．
国立 一橋大学 2010年 第1問実数p,q,rに対して，3次多項式f(x)をf(x)=x3+px2+qx+rと定める．実数a,c,および0でない実数bに対して，a+biとcはいずれも方程式f(x)=0の解であるとする．ただし，iは虚数単位を表す．
(1)y=f(x)のグラフにおいて，点(a,f(a))における接線の傾きをs(a)とし，点(c,f(c))における接線の傾きをs(c)とする．a≠cのとき，s(a)とs(c)の大小を比較せよ．
(2)さらに，a,cは整数であり，bは0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(3)p,q,r・・・
国立 一橋大学 2010年 第4問0以上の整数a1,a2があたえられたとき，数列{an}を
a_{n+2}=a_{n+1}+6an
により定める．
(1)a1=1,a2=2のとき，a_{2010}を10で割った余りを求めよ．
(2)a2=3a1のとき，a_{n+4}-anは10の倍数であることを示せ．
国立 京都大学 2010年 第5問次の問に答えよ．
(1)nを正の整数，a=2nとする．3a-1は2^{n+2}で割り切れるが2^{n+3}では割り切れないことを示せ．
(2)mを正の偶数とする．3m-1が2mで割り切れるならばm=2またはm=4であることを示せ．
国立 東京大学 2010年 第3問2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率1/2で出るコイン1枚を用意する．xを0以上30以下の整数とする．Lにx個，Rに30-x個のボールを入れ，次の操作(\sharp)を繰り返す．
\mon[(\sharp)]箱Lに入っているボールの個数をzとする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，K(z)個のボールを移す．ただし，0≦z≦15のときK(z)=z，16≦z≦30のときK(z)=30-zとする．
m回の操作の後，箱Lのボー・・・
国立 弘前大学 2010年 第1問すべての正の整数nに対して，3^{3n-2}+5^{3n-1}が7の倍数であることを証明せよ．
国立 東北大学 2010年 第3問数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行をn回繰り返して到着した位置をSnとする．以下の問いに答えよ．
(1)S2=-1となる確率を求めよ．
(2)S3=1となる確率を求めよ．
(3)試行をn回繰り返して出た表の総数をiとするとき，Snを求めよ．
(4)kを整数とするとき，Sn=kとなる確率を・・・
国立 東北大学 2010年 第3問1,2,3,4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて，次の手順で5桁の整数をつくる．まず1枚を取り出して現れた数字を1の位とする．取り出した1枚を元に戻し，4枚のカードをよく混ぜて，再び1枚を取り出して現れた数字を10の位とする．このような操作を5回繰り返して，5桁の整数をつくる．得られた整数をXとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)Xに数字1がちょうど2回現れる確率を求めよ．
(2)Xに数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる確率を求めよ．
(3)Xにちょうど2・・・
国立 大阪大学 2010年 第3問ℓ,m,nを3以上の整数とする．等式
(n/m-n/2+1)ℓ=2
を満たすℓ,m,nの組をすべて求めよ．
