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kを定数とする．2次方程式x2+(3k-2)x+4k=0が2つの実数解α,βをもち，α,βは0＜α＜1＜βを満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)kの値の範囲を求めよ．
(2)(β-α)2をkを用いて表せ．
(3)αとβの差が整数であるときのkおよびα,βの値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第1問kを定数とする．2次方程式x2+(3k-2)x+4k=0が2つの実数解α,βをもち，α,βは0＜α＜1＜βを満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)kの値の範囲を求めよ．
(2)(β-α)2をkを用いて表せ．
(3)αとβの差が整数であるときのkおよびα,βの値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第1問kを定数とする．2次方程式x2+(3k-2)x+4k=0が2つの実数解α,βをもち，α,βは0＜α＜1＜βを満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)kの値の範囲を求めよ．
(2)(β-α)2をkを用いて表せ．
(3)αとβの差が整数であるときのkおよびα,βの値を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第5問次の問いに答えよ．
(1)x,yが4で割ると1余る自然数ならば，積xyも4で割ると1余ることを証明せよ．
(2)0以上の偶数nに対して，3nを4で割ると1余ることを証明せよ．
(3)1以上の奇数nに対して，3nを4で割った余りが1でないことを証明せよ．
(4)mを0以上の整数とする．3^{2m}の正の約数のうち4で割ると1余る数全体の和をmを用いて表せ．
国立 広島大学 2010年 第5問4で割ると余りが1である自然数全体の集合をAとする．すなわち，
A={4k+1\;|\;k は0以上の整数 }
とする．次の問いに答えよ．
(1)xおよびyがAに属するならば，その積xyもAに属することを証明せよ．
(2)0以上の偶数mに対して，3mはAに属することを証明せよ．
(3)m,nを0以上の整数とする．m+nが偶数ならば3m7nはAに属し，m+nが奇数ならば3m7nはAに属さないことを証明せよ．
(4)m,nを0以上の整数とする．3^{2m+1}7^{2n+1}の正の約数のうちAに属する数・・・
国立 東京工業大学 2010年 第2問aを正の整数とする．正の実数xについての方程式
(*)x=[1/2(x+a/x)]
が解を持たないようなaを小さい順に並べたものをa1,a2,a3,・・・とする．ここに[]はガウス記号で，実数uに対し，[\;u\;]はu以下の最大の整数を表す．
(1)a=7,8,9の各々について，(*)の解があるかどうかを判定し，ある場合は解xを求めよ．
(2)a1,a2を求めよ．
(3)Σ_{n=1}^{∞}\frac{1}{an}を求めよ・・・
国立 東京工業大学 2010年 第3問1からnまでの数字がもれなく一つずつ書かれたn枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率をp(n)とする．
(1)p(8)を求めよ．
(2)正の整数kに対し，p(3k+2)をkで表せ．
国立 東京大学 2010年 第5問Cを半径1の円周とし，AをC上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻t=0に出発し，C上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻t=2πまで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれm，1，2であるとする．（したがって，QはCをちょうど一周する．）ただし，mは1≦m≦10をみたす整数である．△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべ・・・
国立 千葉大学 2010年 第1問直角三角形ABCは∠Cが直角で，各辺の長さは整数であるとする．辺BCの長さが3以上の素数pであるとき，以下の問いに答えよ．
(1)辺AB，CAの長さをpを用いて表せ．
(2)tan∠Aとtan∠Bは，いずれも整数にならないことを示せ．
国立 千葉大学 2010年 第5問放物線y=x2と直線y=ax+bによって囲まれる領域を
D={(x,y)\;|\;x2≦y≦ax+b}
とし，Dの面積が9/2であるとする．座標平面上で，x座標，y座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ．
(1)a=0のとき，Dに含まれる格子点の個数を求めよ．
(2)a,bが共に整数であるとき，Dに含まれる格子点の個数は，a,bの値によらず一定であることを示せ．