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2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率1/2で出るコイン1枚を用意する．xを0以上30以下の整数とする．Lにx個，Rに30-x個のボールを入れ，次の操作(\sharp)を繰り返す．
\mon[(\sharp)]箱Lに入っているボールの個数をzとする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，K(z)個のボールを移す．ただし，0≦z≦15のときK(z)=z，16≦z≦30のときK(z)=30-zとする．
m回の操作の後，箱Lのボールの個数・・・
国立 東京大学 2010年 第4問Cを半径1の円周とし，AをC上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻t=0に出発し，C上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻t=2πまで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれm，1，2であるとする．（したがって，QはCをちょうど一周する．）ただし，mは1≦m≦10をみたす整数である．△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2010年 第4問xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．
(1)y=1/3x2+1/2xのグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．
(2)a,bは実数でa≠0とする．y=ax2+bxのグラフ上に，点(0,0)以外に格子点が2つ存在すれば，無限個存在することを示せ．
国立 大阪大学 2010年 第5問nを0以上の整数とする．立方体ABCD-EFGHの頂点を，以下のように移動する2つの動点P，Qを考える．時刻0にはPは頂点Aに位置し，Qは頂点Cに位置している．時刻nにおいて，PとQが異なる頂点に位置していれば，時刻n+1には，Pは時刻nに位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移り，Qも時刻nに位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻nにおいて，\・・・
国立 岩手大学 2010年 第3問整数n=0,1,2,・・・に対して，
\begin{eqnarray}
&&an=∫n^{n+1}{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}(x-n)}dx\nonumber\\
&&bn=∫n^{n+1}{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}}dx\nonumber
\end{eqnarray}
とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)a0,b0を求めよ．
(2)cn=an-bnで定める数列{cn}の一般項を求めよ．
(3)Sn=Σ_{k=0}nckであるとき，\lim_{n→∞}Snを求めよ．ただし，\lim_・・・
国立 富山大学 2010年 第1問次の2つの条件を同時にみたす正の整数a,bを求めよ．
(条件1)\sqrt{a+b}の小数第2位を四捨五入すると3.3になる．
(条件2)\sqrt{a/b}の小数第2位を四捨五入すると1.6になる．
国立 島根大学 2010年 第2問自然数nに対して，ベクトルベクトルa,ベクトルbを
ベクトルa=(n^{1/4},n^{1/4}+1),ベクトルb=(n^{1/4},1-n^{1/4})
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルaとベクトルbのなす角をθとするとき，cosθをnを用いて表せ．
(2)\frac{1}{cosθ}が整数となるようなnを小さい順にn1,n2,・・・とするとき，i番目のniをiを用いて表せ．
(3)n=niに対するベクトルa・・・
国立 島根大学 2010年 第2問自然数nに対して，ベクトルベクトルa,ベクトルbを
ベクトルa=(n^{1/4},n^{1/4}+1),ベクトルb=(n^{1/4},1-n^{1/4})
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルaとベクトルbのなす角をθとするとき，cosθをnを用いて表せ．
(2)\frac{1}{cosθ}が整数となるようなnを小さい順にn1,n2,・・・とするとき，i番目のniをiを用いて表せ．
(3)n=niに対するベクトルa・・・
国立 島根大学 2010年 第2問自然数nに対して，ベクトルベクトルa,ベクトルbを
ベクトルa=(n^{1/4},n^{1/4}+1),ベクトルb=(n^{1/4},1-n^{1/4})
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルaとベクトルbのなす角をθとするとき，cosθをnを用いて表せ．
(2)\frac{1}{cosθ}が整数となるようなnを小さい順にn1,n2,・・・とするとき，i番目のniをiを用いて表せ．
(3)n=niに対するベクトルa・・・
国立 奈良女子大学 2010年 第2問袋の中に白球がm個，黒球がn個入っている．ただし，m,nはともに正の整数とする．この袋から球を1個取り出し，その色を確かめてから袋に戻す．この試行をもう一度くり返す．以下の問いに答えよ．
(1)白球が2回取り出される確率をmとnの式で表せ．
(2)異なる色の球が取り出される確率をPとする．Pをmとnの式で表せ．
(3)(2)のPについて，P≦1/2であることを示せ．
(4)(2)のPに対してP=24/49となるとき，n/mの値・・・