「整数」について

　国立 香川大学 2010年 第2問

数列{an}を初項1，公差2/7の等差数列とするとき，次の問に答えよ．
(1)数列{an}の一般項anおよび初項から第n項までの和Σ_{k=1}nakをnを用いて表せ．
(2)実数xに対して，m≦xをみたす最大の整数mを[x]で表す．数列{bn}をbn=[an]で定めるとき，b7,b_{14},b_{15}を求めよ．
(3)(2)で定めた数列{bn}について，b_{100}およびΣ_{k=1}^{100}bkを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第2問

数列{an}を初項1，公差2/7の等差数列とするとき，次の問に答えよ．
(1)数列{an}の一般項anおよび初項から第n項までの和Σ_{k=1}nakをnを用いて表せ．
(2)実数xに対して，m≦xをみたす最大の整数mを[x]で表す．数列{bn}をbn=[an]で定めるとき，b7,b_{14},b_{15}を求めよ．
(3)(2)で定めた数列{bn}について，b_{100}およびΣ_{k=1}^{100}bkを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第2問

数列{an}を初項1，公差2/7の等差数列とするとき，次の問に答えよ．
(1)数列{an}の一般項anおよび初項から第n項までの和Σ_{k=1}nakをnを用いて表せ．
(2)実数xに対して，m≦xをみたす最大の整数mを[x]で表す．数列{bn}をbn=[an]で定めるとき，b7,b_{14},b_{15}を求めよ．
(3)(2)で定めた数列{bn}について，b_{100}およびΣ_{k=1}^{100}bkを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第3問

方程式x3-1=0の解のうち，1と異なるものの1つを\omegaとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)\omega2+\omega+1=0を示せ．
(2)a,bが実数のとき，(a+b\omega)(a+b\omega2)をa,bを用いて表せ．
(3)\frac{1}{1+2\omega}をc+d\omega(c,d　は実数　)の形で表せ．
(4)z=m+n\omega(m,n　は自然数　)に対し，1/zがp+q\omega(p,q　は整数　)の形で表されるとき，zを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第3問

方程式x3-1=0の解のうち，1と異なるものの1つを\omegaとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)\omega2+\omega+1=0を示せ．
(2)a,bが実数のとき，(a+b\omega)(a+b\omega2)をa,bを用いて表せ．
(3)\frac{1}{1+2\omega}をc+d\omega(c,d　は実数　)の形で表せ．
(4)z=m+n\omega(m,n　は自然数　)に対し，1/zがp+q\omega(p,q　は整数　)の形で表されるとき，zを求めよ．

　国立 岐阜大学 2010年 第2問

nを3以上の整数とする．1からnまでの番号を1つずつ重複せずに書いたn枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順にa,b,cとする．b-a=c-bが成り立つ確率をpnとする．以下の問に答えよ．
(1)p5を求めよ．
(2)p6を求めよ．
(3)nが奇数のとき，pnを求めよ．
(4)nが偶数のとき，pnを求めよ．

　国立 岩手大学 2010年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)次の文章の[ア]，[イ]，[ウ]を適当な整数で埋めよ．
2^{10}=[ア]より10^{[イ]}＜2^{10}＜10^{[イ]+1}であるから，\frac{[ウ]}{10}＜log_{10}2＜\frac{[ウ]+1}{10}が成り立つ．
(2)2^{13}を計算し2^{13}＜104であることを確かめよ．さらにlog_{10}2＜0.308を示せ．
(3)24×38を計算し24×38＞105であることを確かめよ．これと(2)を使ってlog_{10}3＞0.・・・

　国立 岐阜大学 2010年 第2問

nを3以上の整数とする．1からnまでの番号を1つずつ重複せずに書いたn枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順にa,b,cとする．b-a=c-bが成り立つ確率をpnとする．以下の問に答えよ．
(1)p5を求めよ．
(2)p6を求めよ．
(3)nが奇数のとき，pnを求めよ．
(4)nが偶数のとき，pnを求めよ．

　国立 奈良女子大学 2010年 第5問

kを実数とする．f(x)=(x-k)2+k2-k-1について以下の問いに答えよ．
(1)kの値によらずf(3)＞0となることを示せ．
(2)2次方程式f(x)=0が実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ．
(3)f(n)＜0をみたす正の整数nがただ一つ存在するようなkの値の範囲を求めよ．

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．