「整数」について

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．

　国立 三重大学 2010年 第4問

Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1)p,qを実数としq≠0とする．\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)X=X\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)ならば，XはX=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)の形に表せることを示せ．
(2)X=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)のとき，自然数nに対しXn=\biggl(\begin{array}{cc}
an&na^{n-1}b\\
0&an
\end{array}\biggr)・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第3問

座標平面上に原点O(0,0)と点A(3,0)がある．自然数nに対して，点Bn(0,n)をとり，△ABnOの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数をanとする．ただし，x座標とy座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．
(1)a1,a2,a3の値を求めよ．
(2)自然数kに対して，n=3kとする．このとき，△ABnOの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，x座標が1であるものの個数を，kを用いて表せ．
(3)自然数kに対して，a_{3k}を，kを用いて・・・

　国立 徳島大学 2010年 第4問

行列Aで表される移動によって，点(x,y)は点(x+y,x-y)に移る．行列Bで表される移動によって，点(x,y)は点(2x+y+ax,x+2y-ay)に移る．行列XがAX=Bを満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)Xの逆行列が存在しないようなaの値を求めよ．
(2)aが整数で，行列X^{-1}のすべての成分が整数になるようなaをすべて求めよ．

　国立 宮崎大学 2010年 第1問

座標平面上に原点O(0,0)と点A(3,0)がある．自然数nに対して，点Bn(0,n)をとり，△ABnOの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数をanとする．ただし，x座標とy座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．
(1)a1,a2,a3の値を求めよ．
(2)自然数kに対して，n=3kとする．このとき，△ABnOの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，x座標が1であるものの個数を，kを用いて表せ．
(3)自然数kに対して，a_{3k}を，kを用いて・・・

　国立 大分大学 2010年 第2問

次の問いに答えなさい．
(1)正の整数nについて(x+1/x)nの展開式に，定数項が含まれるためのnの条件を求めなさい．
(2)(x+1+1/x)7の展開式における定数項を求めなさい．

　国立 大分大学 2010年 第2問

次の問いに答えなさい．
(1)正の整数nについて(x+1/x)nの展開式に，定数項が含まれるためのnの条件を求めなさい．
(2)(x+1+1/x)7の展開式における定数項を求めなさい．

　国立 高知大学 2010年 第4問

kとlを実数の定数とし，xに関する方程式
x4-2(k-l)x2+(k2+l2-6k-8l)=0・・・・・・①
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)方程式①でk=2,l=1としたときの解を求めよ．
(2)方程式①が実数解を持たないための必要十分条件をkとlで表せ．
(3)方程式①の異なる実数解の個数が3つであるような実数の組(k,l)を座標平面上に図示せよ．
(4)方程式①の異なる実数解の個数がただ1つであるような整数の組(k,l)をすべて求めよ．・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)2人乗りの車を持っているA君は，B君，C君とP地点からQ地点へ出かけることにした．B君はA君の車に乗り，C君は歩くこととし，3人同時にP地点を出発した．しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし，A君はC君を迎えに引き返し，C君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点でB君と一緒になった．車の速さはつねに毎時v\;kmで，歩く速さは2人とも毎時p\;km(v＞p)とする．乗り降りに要する時間は無視する．
(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(3)P地点からQ地・・・

　国立 福井大学 2010年 第3問

kを正の整数とし，a1=k,a_{n+1}=2an+1(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}を考える．以下の問いに答えよ．
(1)すべてのnに対して，a_{n+4}-anは15で割り切れることを示せ．
(2)a_{2010}が15の倍数となる最小のkを求めよ．