「整数」について

　国立 長崎大学 2010年 第7問

4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数k,l,mが次の条件
\mon[(イ)]kとlは1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)]kはlmの約数である
を満たすならば，kはmの約数である．
\end{screen}
(1)a,b,c,dは整数で，d≠0とする．次の方程式
x4+ax3+bx2+cx+d=0
が有理数の解rをもつとき，|r|は自然数であり，かつ|d|の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
2x4-2・・・

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数全体で定義された関数f(x)=x-[x]について，-3≦x≦3での関数のグラフを図示せよ．ただし，[x]はxを超えない最大の整数を表す．
(2)実数全体で定義された関数g(x)=(x-[x])e^{-x}について，\lim_{n→∞}∫1ng(x)dxを求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数全体で定義された関数f(x)=x-[x]について，-3≦x≦3での関数のグラフを図示せよ．ただし，[x]はxを超えない最大の整数を表す．
(2)実数全体で定義された関数g(x)=(x-[x])e^{-x}について，\lim_{n→∞}∫1ng(x)dxを求めよ．

　国立 宇都宮大学 2010年 第1問

0以上の整数a,b,c,d,nについて，次の問いに答えよ．
(1)a+b=nを満たすa,bの組(a,b)は全部で何個あるか，nを用いて表せ．
(2)a+b+c=nを満たすa,b,cの組(a,b,c)は全部で何個あるか，nを用いて表せ．
(3)a+b+c+d=nを満たすa,b,c,dの組(a,b,c,d)は全部で何個あるか，nを用いて表せ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

2≦p＜q＜rを満たす整数p,q,rの組で
1/p+1/q+1/r≧1
となるものをすべて求めよ．

　国立 防衛医科大学校 2010年 第1問

1からnまでの数字が1つずつ書かれた合計n枚のカードからランダムに1枚取り出して，書かれた数字を記録し，カードを元に戻す．この操作をk回繰り返したとき，記録されたk個の数字の最大値をXとする(例えばk=3の場合で，記録された数字が(5,1,2)，(3,5,5)あるいは(5,5,5)のとき，X=5となる)．このとき，以下の問に答えよ．
(1)n=4,k=3とすると，P(X=2)はいくらになるか．
(2)n=4,k=3としたときのXの期待値を求めよ．
(3)k=3としたときのXの期待値を，nを用いて・・・

　国立 茨城大学 2010年 第4問

自然数m,nに対して，m=qn+r,0≦r＜nとなる整数qとrをそれぞれmをnで割ったときの商と余りという．ここではmをnで割ったときの余りrをm@nで表すことにする．a,b,cを自然数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)12@3,22@3,32@3を求め，a＞3に対してa2@3を求めよ．
(2)(a+b)@c={(a@c)+(b@c)}@cとなることを示せ．
(3)a2+b2=c2のときa,bの少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．

　国立 愛媛大学 2010年 第9問

nを自然数とし，集合A,Bを
\begin{align}
A={a\;|\;a&　は条件(★)をみたす自然数　}\nonumber\\
B={a\;|\;a&　は条件(☆)をみたす自然数　}\nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．
\mon[(★)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの実数解α,βをもち，α-βは整数である．
\mon[(☆)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの整数解α,βをもつ．

(1)2つの集合・・・

　国立 東京農工大学 2010年 第2問

a,bを実数とする．行列
A=(\begin{array}{cc}
-5&-3\
6&4
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&-2
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
-1&-1\
a&b
\end{array})
について次の問いに答えよ．
(1)AP=PBを満たすように実数a,bを定めよ．
(2)正の整数nについてAnを求めよ．
(3)Anの成分のうち最大のものをanとする．anを求めよ．
(4)Sn=Σ_{k=1}n(a_{2k-1}+2a_{2k})rkとおく．・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第4問

aを正の定数とし，関数
f(x)=(x-a)e^{-x}
について，次の各問いに答えよ．ただしeは自然対数の底である．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)nを正の整数とする．曲線y=f(x)とx軸および直線x=a+nとで囲まれた部分の面積Snをnとaで表せ．また，\lim_{n→∞}Snを求めよ．