「整数」について

　国立 鹿児島大学 2010年 第7問

袋の中に1の数字が書かれている球が5個，2の数字が書かれている球が3個，5の数字が書かれている球が2個の合計10個の球が入っている．1個の球を取り出して，その球に書かれている数を確認し，もとに戻すことを繰り返す．i回目に取り出した球に書かれている数をXiとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)X1の確率分布を表で表せ．また，X1の平均と分散を求めよ．
(2)Z=X1+X2の確率分布を表で表せ．また，確率P(Z≦4)の値を求めよ．
(3)W=X1-X2とするとき，
P(W≦a)≦P(Z\leq・・・

　国立 室蘭工業大学 2010年 第3問

数列{an}は
a1=1/3,(1-a_{n+1})(1+2an)=1(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．
(1)すべての正の整数nに対してan≧1/3であることを，数学的帰納法によって証明せよ．
(2)bn=\frac{1}{an}とおくとき，b_{n+1}をbnを用いて表せ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 旭川医科大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)整数を係数とするn次方程式
f(x)=a0xn+a1x^{n-1}+a2x^{n-2}+・・・+a_{n-1}x+an=0
が有理数の解β/α（αとβは互いに素な整数とする）をもつとき，αはa0の約数でありβはanの約数であることを示せ．
(2)素数pに対して，
x+y+z=p/3,xy+yz+zx=1/p,xyz=\frac{1}{p3}
を満たすx,y,zがすべて正の有理数であるとき，pおよびx,y,zを求めよ．

　国立 京都教育大学 2010年 第2問

1，2，2，3，3，3，4，4，4，4の10個の数字がある．
(1)10個の数字のうち3個を用いて作られる3桁の整数は全部で何個あるか．
(2)10個の数字のうち4個を用いて作られる4桁の整数は全部で何個あるか．

　国立 千葉大学 2010年 第10問

以下の問いに答えよ．
(1)3n=k3+1をみたす正の整数の組(k,n)をすべて求めよ．
(2)3n=k2-40をみたす正の整数の組(k,n)をすべて求めよ．

　国立 九州工業大学 2010年 第4問

右図のように平面上に正六角形ABCDEFがある．時刻n\\
(n=1,2,3,・・・)において動点Pは正六角形の6つの頂点\\
のいずれかにあり，時刻1では頂点Aにあるものとする．\\
時刻n+1には，時刻nのときにあった頂点の隣り合う2つの\\
頂点のいずれかに移動する．どちらの頂点に移動するかは\\
同様に確からしいものとする．時刻nにおいて，動点Pが頂点\\
A，B，C，D，E，Fにある確率をそれぞれ\\
an,bn,cn,dn,en,fn・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)1から9までの整数がひとつずつ書かれた9個の玉が入っている袋の中から玉を3個取り出す．取り出した玉に書かれた整数の和が12以上となる確率を求めよ．
(2)円x2+y2=1と放物線y=x2+5との共通の接線のうち，円と第1象限で接する接線の方程式を求めよ．
(3)平面上の3点A，B，Cに対して|ベクトルAB|=1，|ベクトルAC|=5，ベクトルAB・ベクトルAC=3である．|ベクトルBC|を求めよ．ただし，ベクトルAB・ベクトルACはベクトルABとベクトルAC・・・

　国立 山梨大学 2010年 第6問

行列A=(\begin{array}{cc}
3/2&-\frac{√3}{2}\
\frac{√3}{2}&3/2
\end{array})と点O(0,0)，点X0(1,0)がある．行列Aで表される移動によって点X0は点X1へ移り，行列A2で表される移動によって点X0は点X2へ移るものとする．以下同様に正の整数nについて，行列Anで表される移動によって点X0は点Xnへ移るものとする．
(1)行列・・・

　国立 山梨大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトルベクトルa=(2,1)，ベクトルb=(1,3)のなす角θを求めよ．
(2)放物線y=-x2+4x+8とx軸とで囲まれた図形に内接し，x軸上に2つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ．
(3)整数5^{2010}の桁数を求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
(4)関数y=sinx-cosx+√2(0≦x≦2π)の最大値と最小値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2010年 第2問

xy平面上の点(x1,y1)に対して，点(x2,y2)，(x3,y3)，・・・を次の式で順に定める．
(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array})={\begin{array}{ll}
(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})(\begin{array}{c}
x_{n}\\
y_{n}
\end{array})&(yn≧0　のとき　)\
(\begin{array}{cc}
-1&0\
0&-1
\end{array})(\begin{array}{c}
x_{n}\\
y_{n}
\end{array})&(yn＜0　のとき　)
\end・・・