「整数」について

　私立 北海学園大学 2010年 第5問

さいころを4回投げて，出た目を順に並べて4桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)4桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に5の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に3333以上かつ4444未満の整数は何個あるか．

　私立 北海学園大学 2010年 第4問

さいころを4回投げて，出た目を順に並べて4桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)4桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に5の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に3333以上かつ4444未満の整数は何個あるか．

　私立 東北学院大学 2010年 第2問

△ABCにおいて，AB=8，BC=7，CA=5とする．次の問いに答えよ．
(1)∠BAC=θとする．cosθの値と△ABCの面積を求めよ．
(2)辺BC上に点PをBP=4となるようにとる．∠BAP=α，∠PAC=βとするとき，sinα:sinβを整数の比で表せ．

　私立 自治医科大学 2010年 第24問

関数f(x)=x3-px2+(p2-2p)x+q（p＞0，q＞0，pおよびqは整数とする）について考える．f(x)=0が1つの負の実数解と相異なる2つの正の実数解をもつとき，pqの値を求めよ．

　私立 学習院大学 2010年 第2問

2つのサイコロを振り，出た目の和がnであるとき，nの「奇数部分」を得点とする．ただし，自然数nの「奇数部分」とは
n=2km(k　は　0　以上の整数，　m　は奇数　)
と表したときのmのこととする．たとえば
4=22×1,5=20×5,6=21×3
であるので，4,5,6の「奇数部分」はそれぞれ1,5,3である．
(1)得点が9である確率を求めよ．
(2)得点が1である確率を求めよ．
(3)得点の期待値を求めよ．

　私立 北海道薬科大学 2010年 第2問

次の各設問に答えよ．
(1)方程式3y-10x=48と不等式x2＜y＜4x+15を同時に満たす整数はx=[]，y=[]である．
(2)n本の当たりくじを含む10本のくじから，2本を同時にひく．少なくとも1本が当たりくじである確率が8/15であるとすると，2本ともはずれる確率は\frac{[]}{[]}となるから，nについて
n2-[]n+[]=0
が成り立つ．したがって，条件を満たすnの値は[]である．

　私立 津田塾大学 2010年 第1問

数列{an}をa1=1，a2=2，an=a_{n-1}+a_{n-2}(n=3,4,5,・・・)により定義すると，anは整数である．次の問いに答えよ．
(1)この数列の連続する3項の和は常に偶数であることを示せ．
(2)Sn=Σ_{j=1}n(-1)jaj=-a1+a2-・・・+(-1)nanとおくと，Sn=(-1)na_{n-1}(n=2,3,4,・・・)が成り立つことを示せ．

　私立 津田塾大学 2010年 第3問

実数A,Bに対して方程式x2-Ax+B=0の解をp,qとする．ただしB≠0とする．
(1)自然数nに対してbn=pn+qnとおくとき，b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bbn=0が成り立つことを示せ．
(2)自然数nに対してan=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)nとするとき，a_{n+2}をa_{n+1},an,A,Bで表せ．
(3)A=9/2,B=3/4とおくとき，anは任意の自然数nに対して整数となることを示せ．

　私立 北海道医療大学 2010年 第3問

2次不等式x2-11x+28＜0を満たす実数xの集合をA，x2-(a+2)x+2a＜0を満たす実数xの集合をBとする．ここで，aは定数で，a＞2とする．また，\phiを空集合，実数全体の集合Uを全体集合とし，A,Bの補集合を\overline{A},\overline{B}とする．以下の問に答えよ．
(1)次の不等式を解け．
\mon[①]x2-11x+28＜0
\mon[②]x2-(a+2)x+2a＜0
(2)A∩B=\phiとなるようなaの値の範囲を求めよ．
(3)A∩Bが整数を1つだけ含むよう・・・

　私立 中央大学 2010年 第1問

xy平面で，次の不等式の表す領域をDとする．
D:|x|+2|y|≦60
以下の設問に答えよ．
(1)Dをxy平面上に図示せよ．
(2)次の条件を満たす整数の組(m,n)の個数を求めよ．
m+2n≦60,m≧1,n≧1
(3)Dに含まれる整数の組(m,n)の個数を求めよ．