「整数」について

　私立 早稲田大学 2010年 第3問

係数a,bが整数である3次方程式x3+ax2+bx+1=0が2つの虚数解と1つの整数解をもつ．これを満たす整数の組(a,b)は[キ]組あり，そのうちaの値が最大となる組は(a,b)=([ク],[ケ])である．

　私立 早稲田大学 2010年 第7問

nを正の整数として，
An=2・\comb{n}{2}+3・2・\comb{n}{3}+4・3・\comb{n}{4}+・・・+n・(n-1)・\comb{n}{n}
Bn=\comb{n}{0}-\frac{\comb{n}{1}}{2}+\frac{\comb{n}{2}}{3}-・・・+{(-1)}n・\frac{\comb{n}{n}}{n+1}
とする．このとき，An・B_{n-1}=(n+[ネ])・{[ノ]}^{n+\mkakko{ハ}}となる．

　私立 広島工業大学 2010年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)方程式x2-x-8=|x|を解け．
(2)xy+3x-y-3=5を満たす整数x,yの組を求めよ．
(3)1日の天気を晴れ，曇り，雨の3通りだとする．4日間で，晴れの日がちょうど2日ある場合は何通りあるか．

　公立 首都大学東京 2010年 第1問

以下の問いに答えなさい．
(1)任意の整数mに対して，m2を3で割ると余りは0または1になることを示しなさい．
(2)整数a,b,cがa2+b2=c2を満たしているとすると，積abは12で割り切れることを示しなさい．

　公立 首都大学東京 2010年 第3問

整数の値をとる整数nの関数f(x),g(x)を
f(n)=1/2n(n+1),g(n)=(-1)n
で定め，その合成関数をh(n)=g(f(n))とする．さらに，1つのさいころを4回振って，出た目の数を順にj,k,l,mとしてa=h(j),b=h(k),c=h(l),d=h(m)とおき，関数
P(x)=ax3-3bx2+3cx-d
を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)n=1,2,3,4,5,6に対して，h(n)の値を求めなさい．
(2)P(x)がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい．
(3)P(x)が点(1,P(1))を変曲・・・

　公立 大阪市立大学 2010年 第2問

実数rに対し，n≦r＜n+1となる整数nを[\;r\;]と表すことにする．正の整数mについて，f(m)=[\;m-log2(m+1)\;]とおく．次の問いに答えよ．
(1)m+1=2sとなる整数sがあれば，f(m+1)=f(m)となることを示せ．
(2)m+1=2sとなる整数sがなければ，f(m+1)=f(m)+1となることを示せ．

　公立 兵庫県立大学 2010年 第2問

方程式x2+px+p+1=0の解をα,βとする．この時，方程式x2+qx+q-1=0の解が2/α,2/βとなった．pの値を求めなさい．ただし，pとqは正整数とする．
\fbox{この問題はqが正整数にならないため，受験者全員正解とした．}

　公立 広島市立大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
\mon[問1]2次正方行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)で，(A-E)(A-4E)=Oを満たすものを考える．ただし，a,b,c,dはそれぞれ正の整数とする．
\mon[(1)]a+d=5であることを示せ．
\mon[(2)]このようなAをすべて求めよ．
\mon[問2]
a1=1,a_{n+1}=\frac{9}{6-an}(n=1,2,3,・・・)
で定義される数列{an}を考える．
\mon[(1)]すべての正の整数nに対し，an＜3が成・・・

　公立 兵庫県立大学 2010年 第4問

正整数aと正の奇数p,qが
2a+p2=q4
を満たしているとする．このとき次の問いに答えよ．
(1)q2-p=2を証明せよ．
(2)qを全て求めよ．

　公立 京都府立大学 2010年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)√5が無理数であることを証明せよ．
(2)αを2次方程式x2-4x-1=0の解とするとき，(α-a)(α-b)=1+cを満たす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点(s,t)でsとtのどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
{
\begin{array}{l}
y≧3x2-12x-3\\
y≦0
\end{array}
.
の表す領域をDとする．k2-4k-1＜0を満たす整数kに対して，直線ℓ:x=k上にあり，かつ，Dに含まれる格子点の個数をNk・・・