「整数」について

　公立 京都府立大学 2010年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)√5が無理数であることを証明せよ．
(2)αを2次方程式x2-4x-1=0の解とするとき，(α-a)(α-b)=1+cを満たす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点(s,t)でsとtのどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
{
\begin{array}{l}
y≧3x2-12x-3\\
y≦0
\end{array}
.
の表す領域をDとする．k2-4k-1＜0を満たす整数kに対して，直線ℓ:x=k上にあり，かつ，Dに含まれる格子点の個数をNk・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第3問

座標平面上において，点(x,y)から点(x+1,y)または点(x,y+1)への移動をN型移動といい，点(x,y)から点(x+1,y+1)への移動をS型移動という．nを3以上の整数とする．原点Oから出発し，2n-2回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点(n,n)に到達する径路の総数をA(n)とする．また，このような径路のうち，S型移動をk回目の移動として含む径路の総数をB(n,k)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)A(3)を求めよ．
(2)B(4,1),B(4,2)をそれぞれ求めよ．
(3)B(n,1)をnを用い・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

1,2,3の3種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を(S)とする：
(S):\qquad1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,・・・
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを(T)とする：
(T):\qquad12311121321222331・・・
次の各問に答えよ．
(1)(S)において，12は5番目の整数である．312は何番目の整数になるか求めよ．
(2)(S)において，2010番目の整数を求めよ．
(3)(T)において，初めて2が3個連続して並ぶ部分の最・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2010年 第3問

2次の多項式f(x)の係数はいずれも負でない整数であり，f(1)=15，f(2)=33であるとする．さらに，自然数nに対してf(1)+・・・+f(n)はつねにnで割り切れるものとする．このようなf(x)をすべて求めよ．

　公立 富山県立大学 2010年 第2問

負でない整数nに対して，In=∫0^{π/4}tannxdxとする．次の問いに答えよ．
(1)I0とI1の値を求めよ．
(2)In+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}であることを示せ．
(3)I2とI3の値を求めよ．