「整数」について

　私立 獨協医科大学 2015年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)定数aを正の実数とする．関数
f(θ)=4sin2θ+6cos2θ+4a(sinθ+2cosθ)+a2+1
の0≦θ≦πにおける最大値をM，最小値をmとする．
t=sinθ+2cosθとおく．f(θ)をtを用いて表すと
f(θ)=[ア]t2+4at+a2-[イ]
である．
M=a2+[ウ]\sqrt{[エ]}a+[オ]であり，これを与えるθの値をθ0とすると，tanθ0=\frac{\・・・

　私立 獨協医科大学 2015年 第2問

正n角形P1P2P3・・・Pn（nは4以上の整数）をKとする．Kの頂点と各辺の中点の合計2n個の点から異なる3点を選び，それらを線分で結んでできる図形をTとする．（ただし，Kの1つの頂点とそれに隣接する中点の一方を結ぶ線分を1辺とする三角形，例えば辺P1P2の中点をM1として，三角形P1M1P3なども「Kと辺を共有する三角形」とする．）
(1)n=5とする．
Tが三角形となる確率は\frac{\ka・・・

　公立 首都大学東京 2015年 第1問

以下の問いに答えなさい．
(1)次の不定積分を求めなさい．
∫e^{-2x}cos2xdx
(2)nを正の整数とする．曲線
y=e^{-x}sinx((n-1)π≦x≦nπ)
とx軸で囲まれる部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vnを求めなさい．
(3)(2)で求めたVnに対して，Σ_{n=1}^∞V_{2n-1}=V1+V3+V5+・・・を求めなさい．

　国立 東京大学 2014年 第2問

aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して，次の操作(*)を考える．
\mon[(*)]袋Uから球を1個取り出し，
(i)取り出した球が白球のときは，袋Uの中身が白球a個，赤球1個となるようにする．
(ii)取り出した球が赤球のときは，その球を袋Uへ戻すことなく，袋Uの中身はそのままにする．

はじ・・・

　国立 東京大学 2014年 第5問

rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・

　国立 東京大学 2014年 第2問

aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して，次の操作(*)を考える．
\mon[(*)]袋Uから球を1個取り出し，
(i)取り出した球が白球のときは，袋Uの中身が白球a個，赤球1個となるようにする．
(ii)取り出した球が赤球のときは，その球を袋Uへ戻すことなく，袋Uの中身はそのままにする．

はじ・・・

　国立 東京大学 2014年 第4問

rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第2問

rを0＜r＜1をみたす定数とする．次の問いに答えよ．
(1)数列{an}をan=[n/3]で定める．ただし，実数xに対して，[x]はl≦x＜l+1をみたす整数lを表す．このとき，
\lim_{n→∞}Σ_{k=1}^{3n}(-1)^{k-1}r^{ak}
を求めよ．
(2)数列{bn}を
\begin{array}{ll}
n　が奇数のとき　&bn=n\
n　が偶数のとき　&bn=2n
\end{array}
で定める．このとき，
\lim_{n→∞}1/nΣ_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}r^{・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第3問

rを0＜r＜1をみたす定数とする．数列{an}に対して
Sn=Σ_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}r^{ak}(n=1,2,3,・・・)
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数xに対して，[x]はl≦x＜l+1をみたす整数lを表す．
(1)数列{an}をan=[n/2]で定めるとき，S_{2n}をrとnの式で表せ．
(2)数列{an}をan=[n/3]で定めるとき，S_{3n}をrとnの式で表せ．
(3)a1=0，an≦a_{n+1}\l・・・

　国立 一橋大学 2014年 第3問

円C:x2+y2=1上の点Pにおける接線をℓとする．点(1,0)を通りℓと平行な直線をmとする．直線mと円Cの(1,0)以外の共有点をP´とする．ただし，mが直線x=1のときはP´を(1,0)とする．
円C上の点P(s,t)から点P´(s´,t´)を得る上記の操作をTと呼ぶ．
(1)s´,t´をそれぞれsとtの多項式として表せ．
(2)点Pに操作Tをn回繰り返して得られる点を\・・・