「最大値」について

　問題集 センター試験 2015年 第1問

2次関数
y=-x2+2x+2・・・・・・①
のグラフの頂点の座標は([ア],[イ])である．また
y=f(x)
はxの2次関数で，そのグラフは，①のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動したものであるとする．
(1)下の[ウ],[オ]には，次の\nagamarurei～\nagamarushiのうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\nagamarurei＞\qquad\nagamaruichi＜\qquad\nagamaruni≧\qq・・・

　国立 京都大学 2015年 第4問

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて，Pを辺ABの中点とし，点Qが辺AC上を動くとする．このとき，cos∠PDQの最大値を求めよ．

　国立 大阪大学 2015年 第4問

座標空間のx軸上に動点P，Qがある．P，Qは時刻0において，原点を出発する．Pはx軸の正の方向に，Qはx軸の負の方向に，ともに速さ1で動く．その後，ともに時刻1で停止する．点P，Qを中心とする半径1の球をそれぞれA,Bとし，空間でx≧-1の部分をCとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻t(0≦t≦1)における立体(A∪B)∩Cの体積V(t)を求めよ．
(2)V(t)の最大値を求めよ．

　国立 一橋大学 2015年 第4問

xyz空間において，原点を中心とするxy平面上の半径1の円周上を点Pが動き，点(0,0,√3)を中心とするxz平面上の半径1の円周上を点Qが動く．
(1)線分PQの長さの最小値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．
(2)線分PQの長さの最大値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．

　国立 神戸大学 2015年 第2問

座標平面上の楕円\frac{x2}{4}+y2=1をCとする．a＞2，0＜θ＜πとし，x軸上の点A(a,0)と楕円C上の点P(2cosθ,sinθ)をとる．原点をOとし，直線APとy軸との交点をQとする．点Qを通りx軸に平行な直線と，直線OPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)(1)で求めた点Rのy座標をf(θ)とする．このとき，0＜θ＜πにおけるf(θ)の最大・・・

　国立 広島大学 2015年 第4問

α,βはα＞0，β＞0，α+β＜1を満たす実数とする．三つの放物線
C1:y=x(1-x),C2:y=x(1-β-x),C3:y=(x-α)(1-x)
を考える．C2とC3の交点のx座標をγとする．また，C1，C2，C3で囲まれた図形の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)γをα,βを用いて表せ．
(2)Sをα,βを用いて表せ．
(3)α,βがα+β=1/4を満たしながら動くとき，Sの最大値を求めよ・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第3問

曲線C:y=sin2xについて，C上の点(t,sin2t)(0≦t≦π/2)におけるCの接線と直線x=aとの交点をPとする．ただし，aは0≦a≦π/2を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pのy座標をf(t)とおくとき，f(t)を求めよ．
(2)関数f(t)の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)tが0≦t≦π/2の範囲を動くとき，点(t,sin2t)・・・

　国立 岡山大学 2015年 第4問

2次関数y=f(x)のグラフは，上に凸であり，原点および点Q(a,0)を通るものとする．ただし，0＜a＜1である．関数y=x2のグラフをC，関数y=f(x)のグラフをDとし，CとDの共有点のうち，原点と異なるものをPとする．点PにおけるCの接線の傾きをm，Dの接線の傾きをnとするとき
(2a-1)m=2an
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)をxとaの式で表せ．
(2)0≦x≦aの範囲で，曲線Dとx軸で囲まれた図形の面積をS(a)とする．S(a)・・・

　国立 岡山大学 2015年 第4問

座標空間内の8点
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)
を頂点とする立方体を考える．0＜t＜3のとき，3点(t,0,0)，(0,t,0)，(0,0,t)を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積をf(t)とし，f(0)=f(3)=0とする．関数f(t)について，次の問いに答えよ．
(1)0≦t≦3のとき，f(t)をtの式で表せ．
(2)関数f(t)の0≦t≦3における最大値を求めよ．
(3)定積分∫・・・

　国立 東北大学 2015年 第1問

xy平面において，次の式が表す曲線をCとする．
x2+4y2=1,x＞0,y＞0
PをC上の点とする．PでCに接する直線をℓとし，Pを通りℓと垂直な直線をmとして，x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする．PがC上の点全体を動くとき，Sの最大値とそのときのPの座標を求めよ．