「最大公約数」について

　私立 近畿大学 2012年 第1問

自然数nに対して，nとの最大公約数が1である自然数の個数をf(n)で表す．たとえば6以下の自然数で，6との最大公約数が1であるものは，1，5の2個であるからf(6)=2である．f(1339)について考える．1339の素因数分解を1339=pq（p,qは素数でp＜q）とするとp=[ア][イ]，q=[ウ][エ][オ]となる．したがって，1339以下の自然数でpで割り切れるものの個数は[カ][キ][ク]，qで割り切れるものの個数は[ケ][コ]である．こうした考え方を用いるとf(1339)=\kakkofour・・・

　私立 近畿大学 2012年 第1問

自然数nに対して，nとの最大公約数が1である自然数の個数をf(n)で表す．たとえば6以下の自然数で，6との最大公約数が1であるものは，1，5の2個であるからf(6)=2である．f(1339)について考える．1339の素因数分解を1339=pq（p,qは素数でp＜q）とするとp=[ア][イ]，q=[ウ][エ][オ]となる．したがって，1339以下の自然数でpで割り切れるものの個数は[カ][キ][ク]，qで割り切れるものの個数は[ケ][コ]である．こうした考え方を用いるとf(1339)=\kakkofour・・・

　私立 成城大学 2012年 第2問

次の文章内の[ア]～[コ]に適当な式または数値を入れよ．ただし，[ク]～[コ]はそれぞれ3つの自然数の組である．
(1)xy平面上で，点(-1,0)を通る傾きtの直線を考える．この直線が円x2+y2=1と点(x,y)（ただし，x＞0，y＞0）で交わるとき，yはtとxで，
y=[ア](i)
のように表される．この式を円の方程式x2+y2=1に代入して，xに関する2次方程式[イ]=0を得る．
この方程式を解いて，
x=[ウ]\tokei・・・

　公立 首都大学東京 2012年 第2問

nを正の整数とし，n2+3とn+1の最大公約数をdnとおく．以下の問いに答えなさい．
(1)d1,d2,d3,d4,d5を求めなさい．
(2)(n2+3)-(n-1)(n+1)=4を用いて，dnは1,2,4のいずれかであることを示しなさい．
(3)Σ_{n=1}^{610}dnを求めなさい．
(4)次の極限値を求めなさい．
\lim_{k→∞}1/kΣ_{n=1}kdn

　公立 和歌山県立医科大学 2012年 第4問

自然数の数列{an}，{bn}を
a1=2,b1=5,a_{n+1}={an}2+{bn}2,b_{n+1}=2anbn(n=1,2,3,・・・)
で定める．このとき，すべての自然数nに対して，anとbnの最大公約数は1であることを示せ．

　国立 静岡大学 2011年 第2問

自然数a,bに対して，a=bq+r,0≦r≦b-1を満たす整数q,rがただ1組存在する．このときqはaをbで割った商，rはaをbで割った余りという．自然数a0,a1が与えられたとき，数列{an},{qn}は次の性質を満たすものとする．
\mon[(i)]qnはa_{n-1}をanで割った商
\mon[(ii)]\biggl(\begin{array}{c}
an\\
a_{n+1}
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&-qn
\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}
a_{n-1}\\
a_{n}
\end{array}\bi・・・

　国立 岩手大学 2011年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに関する次の命題を証明せよ．
(i)nを3で割った余りが1ならば，n2を3で割った余りは1である．
(ii)nが3の倍数であることは，n2が3の倍数であるための必要十分条件である．
(2)100から999までの3桁の自然数について，次の問いに答えよ．
(i)3種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[(ii))]0が現れないものは何個あるか．
\mon[(iii)・・・

　国立 琉球大学 2011年 第3問

1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある．この中から1枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す．これをn回繰り返したとき，記録されたn個の数の最大公約数をXとする．ただし，nは2以上の自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)X=3となる確率とX=4となる確率をnを用いて表せ．
(2)X=2となる確率をnを用いて表せ．
(3)Xの期待値をnを用いて表せ．

　国立 群馬大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)1365と1560の最大公約数を求めよ．
(2)2以上の整数x,y,zの組でxyz=1365,3x≦2y≦zを満たすものをすべて求めよ．

　国立 群馬大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)1365と1560の最大公約数を求めよ．
(2)2以上の整数x,y,zの組でxyz=1365,3x≦2y≦zを満たすものをすべて求めよ．