「最大」について

　国立 静岡大学 2013年 第3問

半径OA=OB=1，中心角∠AOB=2θ(0＜θ＜π/2)の扇形OABに内接し，その2辺が弦ABと平行であるような長方形PQRSについて考える．頂点PとQは弧AB上に，残りの2頂点はそれぞれ辺OAとOB上にあるとして，∠POQ=2αとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)長方形PQRSの面積を，αとθの三角比を用いて表せ．
(2)長方形PQRSの面・・・

　国立 静岡大学 2013年 第1問

半径OA=OB=1，中心角∠AOB=2θ(0＜θ＜π/2)の扇形OABがある．長方形PQRSは，扇形OABに内接し，その2辺が弦ABと平行であるような長方形の中で面積が最大のものである．このとき，次の問いに答えよ．
(1)頂点PとQが弧AB上にあるとして，∠POQ=2αとするとき，αをθで表せ．
(2)長方形PQRSの面積をθの三角比を用いて表せ．
(3)長方・・・

　国立 富山大学 2013年 第2問

f(x)=(1-x)3とし，曲線y=f(x)上の点(0,1)における接線の方程式をy=p(x)，点(t,f(t))における接線の方程式をy=qt(x)とする．さらに，関数F(t)を
F(t)=∫0tp(x)dx+∫t1qt(x)dx
と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)F(t)を求めよ．
(2)F´(0)，F´(1)の値を求めよ．
(3)F(t)を最大にするtの値がただ1つ定まることを示せ．

　国立 愛知教育大学 2013年 第6問

座標平面上の円C:x2+y2=1と点A(-1,0)に対し，点Aを通る傾きm(m＞0)の直線と円Cとの交点で，点Aとは異なる点をPとする．また，点Pからx軸に下した垂線をPQとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標をmを用いて表せ．
(2)△APQの面積を最大とするmの値を求めよ．

　国立 岩手大学 2013年 第2問

9個の自然数1,2,3,4,5,6,7,8,9から相異なる3つの数を無作為に選び，それらを大きい順に並び変えたものをX1,X2,X3(X1＞X2＞X3)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)X2がa(2≦a≦8)以下になる確率を求めよ．
(2)X2がaである確率が最大となるようなa，およびそのときの確率を求めよ．

　国立 岩手大学 2013年 第2問

9個の自然数1,2,3,4,5,6,7,8,9から相異なる3つの数を無作為に選び，それらを大きい順に並び変えたものをX1,X2,X3(X1＞X2＞X3)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)X2がa(2≦a≦8)以下になる確率を求めよ．
(2)X2がaである確率が最大となるようなa，およびそのときの確率を求めよ．

　国立 和歌山大学 2013年 第4問

0＜a＜1/3,b＞0とする．放物線y=x2-2a2xのx≧0の部分を曲線Cとする．直線ℓ:y=bとCとが0＜x＜aの範囲で交わっている．さらに，Cとℓとy軸で囲まれる部分の面積と，Cとℓと直線x=aで囲まれる部分の面積が等しい．このとき，次の問いに答えよ．
(1)bをaを用いて表せ．
(2)bを最大にするaの値と，そのときのbの値を求めよ．

　国立 宇都宮大学 2013年 第6問

座標平面上で原点Oを中心とする半径1の円の第1象限の部分をCとする．曲線y=f(x)(0＜x＜1)は第4象限にあり，かつすべてのx1(0＜x1＜1)について，点(x1,f(x1))における接線がC上の点(x1,y1)におけるCの接線と直交しているとする．曲線y=f(x)上の動点をPとするとき，次の問いに答えよ．
(1)f´(x)を求めよ．
(2)点Pにおけるy=f(x)の接線とy軸との交点をQとするとき，線分PQの長さは常に1であることを示せ．
(3)x軸上とy軸上・・・

　国立 奈良女子大学 2013年 第6問

tを0≦t≦√3-1をみたす実数とする．座標平面上に6点O(0,0)，A(0,1)，B(√3,0)，P(t-1,0)，Q(t,1)，R(t+1,0)がある．2直線PQとABの交点をM，2直線QRとABの交点をNとする．次の問いに答えよ．
(1)2点M，Nのx座標をそれぞれ求めよ．
(2)三角形OABと三角形PQRの共通部分の面積をSとおく．Sをtを用いて表せ．
(3)(2)で求めたSが・・・

　国立 琉球大学 2013年 第1問

tを0≦t＜2をみたす定数とする．放物線y=(x-2)2上の点(t,(t-2)2)における接線をℓとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)直線ℓとx軸の交点を求めよ．
(3)直線ℓとx軸，y軸によって囲まれる部分の面積をS(t)とする．0≦t＜2においてS(t)が最大となるときのtの値とS(t)の値を求めよ．