「最大」について

　国立 大分大学 2013年 第1問

nを9以上の自然数とする．袋の中にn個の球が入っている．このうち6個は赤球で残りは白球である．この袋から6個の球を同時に取り出すとき，3個が赤球である確率をPnとする．
(1)P_{10}を求めなさい．
(2)\frac{P_{n+1}}{P_{n}}を求めなさい．
(3)Pnが最大となるnを求めなさい．

　国立 大阪教育大学 2013年 第4問

ある種の粒子は出現して1時間後に次のように変化する．
確率1/3で2個の新しい粒子になる．
確率1/2で1個の新しい粒子になる．
確率1/6で消滅する．
1個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．
(1)2時間後に粒子が2個になっている確率を求めよ．
(2)3時間後に粒子が5個になっている確率を求めよ．
(3)nを自然数とする．n時間・・・

　国立 山形大学 2013年 第1問

面積が1である△ABCの辺BC上に点Dがあり，辺CA上に点Eがあり，辺AB上に点Fがある．正の実数x,y,z,wをAF:FB=x:y，BD:DC=y:z，CE:EA=z:wとなるように定める．線分AD，BE，CFが△ABCの内部の点Gで交わるとき，次の問に答えよ．
(1)三角形の面積の比を用いて，x/y・y/z・z/w=1となることを示せ．
\・・・

　国立 琉球大学 2013年 第3問

aを自然数とする．赤球3個，白球a個が入った袋から一つずつ順に取り出す操作をすべての球を取り出すまで繰り返す．ただし，取り出した球は元に戻さない．このとき，2個目の赤球が出る前までに取り出した球の数をXとする．次の問いに答えよ．
(1)a=4とする．3番目までに赤球が1個だけ出て，4番目が赤球である確率を求めよ．
(2)X=nとなる確率をpnとする．pnが最大となるnの値をaを用いて表せ．
(3)Xの期待値を求めよ．

　国立 福井大学 2013年 第4問

Oを原点とするxy平面上に2点P(cost,0)，Q(0,sint)をとる．ここで0≦t≦π/4とする．直線PQに関してOと対称な点をRとするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線PQが原点Oを通るときはRをOと定める．
(1)点Rの座標が(sin2tsint,sin2tcost)で表されることを証明せよ．
(2)tが0≦t≦π/4の範囲を動くとき，点Rの描・・・

　国立 福井大学 2013年 第2問

OA=OB=OC=1かつAB=BC=CAをみたす四面体OABCがある．その体積をV，AB=mとおき，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcと表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaをmを用いて表せ．
(2)△ABCの重心をGとおくとき，内積ベクトルOG・ベクトルAG，ベクトルOG・ベクトルBG，ベクトルOG・・・・

　国立 山口大学 2013年 第3問

今年6万円，来年27万円の収入がある人がいる．この人は黄金が大好きである．この人が，今年s万円，来年t万円の黄金を購入すると，f=s2tで定められる満足度が得られるとする．この人が今年は6万円以下の黄金を購入した場合，来年は，残りの(6-s)万円と，(6-s)万円に対する50%の利息と，来年の収入の27万円をすべて合わせた金額だけ購入できる．一方，来年の収入から借りてきて今年の6万円と合わせて今年購入することもできるが，借りた金額の他に，借りた金額の50%だけ来年の収入が減るとする．ただし，s,tは0・・・

　国立 山口大学 2013年 第4問

実数xに対し，xを超えない最大の整数を[x]で表す．数列{an}が
an=[√n](n=1,2,3,・・・)
で定められるとき，次の問いに答えなさい．
(1)a1,a2,a3,a4を求めなさい．
(2)nを自然数とする．
Sn=Σ_{i=1}nai=a1+a2+・・・+an
とするとき，次の等式を証明しなさい．
Sn=(n+5/6)an-1/2{an}2-1/3{an}3

　国立 愛媛大学 2013年 第4問

原点をOとする座標空間内に3点A，B，Cがあり，次の条件①,②,③,④を満たすとする．
①Aはxy平面上の点でOA=1
②B，Cはyz平面上の点で，y軸に関して対称である
③△OABは正三角形である
④A，B，Cはy軸上にない

(1)Bのy座標をtとす・・・

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第9問

放物線y=x2をC1，C1と異なる放物線y=ax2+bx+c(a≠0)をC2とする．
(1)a=1のとき，C1とC2の両方に接する直線は最大でも1本しか存在しないことを示せ．
(2)a=1のとき，条件b≠0は条件
C1とC2の両方に接する直線が1本だけ存在する
の必要十分条件であることを示せ．
(3)条件p1,p2,q1,q2を次で定める．
\begin{array}{ll}
p1:C2　は下に凸である．　&p2:C2　は上に凸である．　\
q1:C1\text・・・