「最大」について

　国立 宮崎大学 2013年 第4問

-1＜x＜1で定義される関数f(x)=2x+\sqrt{5-5x2}について，座標平面上の曲線C:y=f(x)を考える．このとき，次の各問に答えよ．
(1)曲線Cは上に凸であることを示し，f(x)の最大値を求めよ．
(2)曲線C上の点のうち，原点Oとの距離が最大となる点をA，最小となる点をBとするとき，A，Bの座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点A，Bについて，線分OA，線分OB，および曲線Cで囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 長崎大学 2013年 第7問

半径1の円と長さ2の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものをPとする．この図形を下の図1のようにxy平面上に置く．すなわち，中心が点(0,1)，Pが点(0,-1)と一致するように置く．次に，x軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図2は円がθだけ回転したときの状態を表している．0≦θ≦πの範囲で，点Pが描く曲線Cについて考察する．次の問いに答えよ．
\imgc{7132・・・

　国立 鳴門教育大学 2013年 第3問

A，B，Cを円周上の相異なる3点とし，AB=ACとする．点Aを含まない弧BC上に点Pをとる．∠BPAをθと書く．次の問いに答えよ．
(1)ABをAP，BP，θを用いて表せ．
(2)\frac{BP+PC}{AP}の値は，点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ．
(3)BP+PCの値が最大となる点Pを求めよ．

　国立 大分大学 2013年 第1問

nを9以上の自然数とする．袋の中にn個の球が入っている．このうち6個は赤球で残りは白球である．この袋から6個の球を同時に取り出すとき，3個が赤球である確率をPnとする．
(1)P_{10}を求めなさい．
(2)\frac{P_{n+1}}{P_{n}}を求めなさい．
(3)Pnが最大となるnを求めなさい．

　私立 北海学園大学 2013年 第5問

数列a1,a2,・・・,anは，1から2n-1までの異なるn個の奇数を並べかえたものである．また，数列b1,b2,・・・,bnは，2から2nまでの異なるn個の偶数を並べかえたものである．Sn=a1b1+a2b2+・・・+anbnとするとき，次の問いに答えよ．ただし，nは3以上の整数とする．
(1)n=3であり，b1=4，b2=6，b3=2のとき，S3を最大にするa1,a2,a3を求めよ．
(2)Σ_{k=1}n2kak+Σ_{k=1}n\frac{(ak-2k+1)2}{2}をnを用いて・・・

　私立 南山大学 2013年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)すべての実数xについて，2次不等式2x2-6ax+3a＞-4が成り立つとき，aの値の範囲は[ア]である．また，a＞0の範囲で，2次関数y=2x2-6ax+3aの最小値が-4となるとき，その最小値をとるxの値は[イ]である．
(2)tanθ+\frac{1}{tanθ}=4(0＜θ＜π/2)のとき，sinθcosθ=[ウ]であり，sin3θ+cos3θ=[エ]である．
(3)実数kについて，方程式x2+y2-6kx+4(k+1)y・・・

　私立 名城大学 2013年 第1問

次の[]に適切な答えを入れよ．
(1)3次方程式x3+(a+4)x2+(4a+5)x+20=0の1つの解が1+2iであるとき，実数a=[ア]であり，1つある実数解は[イ]である．
(2)log_{10}2=0.301とするとき，log25の値を小数点4桁以下を切り捨て，小数点3桁まで求めると[ウ]となる．また，2nが10桁の数となる最大の自然数nは[エ]である．

　私立 学習院大学 2013年 第1問

大中小3つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれa,b,cとする．さらに，a,b,cのうちで，最小の数をSとし，最大の数をTとする．
(1)S=2となる確率を求めよ．
(2)S≦2かつT=6となる確率を求めよ．
(3)Sの期待値を求めよ．

　私立 学習院大学 2013年 第3問

ベクトルa,ベクトルbはともに平面上の長さ1のベクトルで，ベクトルa・ベクトルb=1/2を満たすとする．ただし，ベクトルa・ベクトルbは内積を表す．
(1)ベクトルベクトルa+2ベクトルbの長さ|ベクトルa+2ベクトルb|を求めよ．
(2)内積
(ベクトルc+ベクトルa)・(ベクトルc+2ベクトルb)
を最大にする長さ1のベクトルベクトルcをベクトルa,ベクトルbで表せ．また，その最大値を求めよ．

　私立 金沢工業大学 2013年 第6問

座標平面において，媒介変数tの範囲が0≦t≦πであるサイクロイド
x=t-sint,y=1-cost
をCとする．
(1)曲線C上でy座標が最大になる点をAとすると，Aの座標は([ア],[イ])である．
(2)直線y=x+kがこの曲線Cの0＜t≦πの部分に接するのはt=\frac{π}{[ウ]}のときであり，その接点の座標は(\frac{π}{[エ]}-[オ],[カ])である．このとき，k=\kakko・・・