「最大」について

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

3枚のカードに，1，2，3の各数字が書かれている．この3枚のカードから1枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業をn回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，n回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えばn=5のとき，引いた数字が順に2，2，3，3，2であれば3点を獲得し，2，1，2，2，3であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
\begin{en・・・

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

3枚のカードに，1，2，3の各数字が書かれている．この3枚のカードから1枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業をn回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，n回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えばn=5のとき，引いた数字が順に2，2，3，3，2であれば3点を獲得し，2，1，2，2，3であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
\begin{en・・・

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線Cを考える．円板の中心の最初の位置を(0,2)，点Pの最初の位置を(0,1)とする．
(1)円板がその中心のまわりに回転した角をθとするとき，Pの座標は
(2θ-sinθ,2-cosθ)
で与えられることを示せ．
(2)点P(2θ-sinθ,2-cosθ)(0＜θ＜2π)における曲線Cの法線とx軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線・・・

　国立 旭川医科大学 2012年 第3問

aを正の実数とし，fn(x)=∫0xe^{-at}sinntdt(n=1,2,3,・・・)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)\lim_{x→∞}fn(x)を求めよ．
(2)a=3/2とするとき，\lim_{x→∞}fn(x)が最大となる自然数n，およびそのときの最大値を求めよ．

　国立 福井大学 2012年 第1問

nを2以上の整数とし，袋の中に，白玉が5個，赤玉がn個入っているとする．この袋から2個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が白玉と赤玉1個ずつである確率をpnとし，また，取り出した白玉の数をXとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)pnを求めよ．
(2)pnが最大になるnの値と，そのときのpnの値を求めよ．
(3)Xの期待値が0.625になるとき，nの値を求めよ．

　国立 長崎大学 2012年 第4問

aを正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)半径aの球面に内接する円柱の高さをg，底面の半径をrとする．rをaとgを用いて表せ．
(2)(1)の円柱で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれaを用いて表せ．
(3)半径aの球面に内接する円錐がある．ただし，円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分は球の中心を通るものとする．円錐の高さをh，底面の半径をsとする．sをaとhを用いて表せ．
(4)(3)の円錐で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半・・・

　国立 長崎大学 2012年 第8問

実数x,yが連立不等式
{
\begin{array}{ll}
10^{10}＜2x3y＜10^{11}&・・・・・・(A)\\
109＜3x2y＜10^{10}&・・・・・・(B)
\end{array}
.
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)連立不等式(A)，(B)が表すxy平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．
(2)連立不等式(A)，(B)を満たす実数x,yにおいて，x+yがとりうる値の範囲，およびy-xがとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
(3)連立不等式(\ten{・・・

　国立 山口大学 2012年 第4問

半径1の円周上に等間隔に並んだ8個の点がある．これらの中から相異なる3個の点を同時に選び，それらを結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．

　国立 防衛大学校 2012年 第3問

座標平面上の3点(0,0)，(6,0)，(0,6)を頂点とする三角形と4点(0,t)，(0,t-4)，(4,t-4)，(4,t)を頂点とする正方形の共通部分の面積をS(t)とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，2≦t≦6とする．
(1)S(2)とS(6)の値を求めよ．
(2)S(t)を最大にするtの値と，S(t)の最大値Mを求めよ．
(3)2≦t≦5のとき，S(t)=S(t+1)をみたすtの値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2012年 第1問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
\img{669287220121}{38}
(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・