「最大」について

　私立 聖マリアンナ医科大学 2012年 第2問

nを自然数，cおよびdを実数として，数列{an}を初項c，公差dの等差数列，数列{bn}を初項3，公差2の等差数列とするとき，以下の設問に答えなさい．
(1)d≠0のとき，
Σ_{k=1}ne^{ak}=[1]
となる．ただし，eは自然対数の底とする．
(2)数列{fn}の第n項をfn=bne^{an}と定義する．d=-0.08のとき，fnの値が最大になるのはn=[2]のときである．

　私立 北海道科学大学 2012年 第11問

xの2次関数y=ax2+4ax+b(a＞0)について次の各問に答えよ．
(1)この関数のグラフの頂点の座標をa,bを用いて表せ．
(2)この関数の値が-3≦x≦2において，最大になるときと最小になるときのxの値をそれぞれ求めよ．
(3)-3≦x≦2におけるこの関数の最大値が3，最小値が-5であるとき，定数a,bの値を求めよ．
(4)(3)のとき，この2次関数のグラフのx軸およびy軸との共有点を求めて，グラフを描け．

　公立 京都府立大学 2012年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)\frac{6}{3-√3}の整数部分をa，小数部分をbとするとき，a2+b2の値を求めよ．
(2)(x+2)^{12}の展開式における最大の係数の値を求めよ．
(3)3辺の長さがそれぞれ4，5，6である三角形に内接する円の半径を求めよ．

　公立 高崎経済大学 2012年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)3次関数f(x)=ax3+bx2-6がある．f^{\prime}(1)=7,f^{\prime}(-2)=4となるように定数a,bの値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，i2=-1である．\frac{2-i}{1+2i}
(3)(2x2-1)6を展開したとき，x4の項の係数を求めよ．
(4)20本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は1等1000円が1本，2等500円が2本，3等300円が3本である．ただし，はずれくじの賞金は0円である．いま，この中から1本のくじを引くときの賞金の期待値を求め・・・

　公立 京都府立大学 2012年 第3問

n,an,bnを自然数とし，(2+√3)n=an+√3bnとする．以下の問いに答えよ．
(1)a_{n+1},b_{n+1}をan,bnを用いて表せ．
(2)(2-√3)n=an-√3bnとなることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)(2+√3)n以下の整数のうち最大のものをpan+qとする．pとqの値を求めよ．

　公立 愛知県立大学 2012年 第2問

三角形ABCにおいて∠　A　=θ,∠　B　=2θであるとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，\lceil・\rfloorはベクトルの内積を表す．
(1)\frac{|ベクトルAC|}{|ベクトルBC|}を，cosθを用いて表せ．
(2)次式が最大となるときのcosθを求めよ．
\frac{ベクトルAB・ベクトルAC}{|ベクトルAB||ベクトルAC|}+\frac{ベクトルBA・ベクトルBC}{|ベクトルBA||ベクトルBC|}+\frac{ベクトルCB・ベクトルCA}{|ベクトルCB||ベクトルCA|}
(3)・・・

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第1問

実数p,qに対して，xの3次関数f_{p,q}(x)をf_{p,q}(x)=x3+px+qによって定める．実数p,qは，3次関数f_{p,q}(x)が以下の3条件を満たすような範囲を動くとする．
条件(i)：f_{p,q}(1)=1
条件(ii)：f´_{p,q}(0)＜0（ただし，f´_{p,q}(x)はf_{p,q}(x)の導関数を表す．）
条件(iii)：x≧0のとき，f_{p,q}(x)≧0
このとき，定積分
I(p,q)=∫01f_{p,q}(x)dx
を最大にするようなp,qの値，お・・・

　国立 東京大学 2011年 第1問

座標平面において，点P(0,1)を中心とする半径1の円をCとする．aを0＜a＜1を満たす実数とし，直線y=a(x+1)とCとの交点をQ，Rとする．
(1)△PQRの面積S(a)を求めよ．
(2)aが0＜a＜1の範囲を動くとき，S(a)が最大となるaを求めよ．

　国立 秋田大学 2011年 第3問

平面上の相異なる3点O，A，Bに対して，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとし，ベクトルp=ベクトルa+2ベクトルb,ベクトルq=\frac{-ベクトルa+2ベクトルb}{4}とする．また，ベクトルp=ベクトルOP,ベクトルq=ベクトルOQであるような2点P，Qをとる．|ベクトルp|=4,|ベクトルq|=1であるとき，次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルa|=|ベクトルb|のとき，内積ベクトルp・ベクトルqを求めよ．
(2)2点A，Bを通る直線と，2点P，Qを通る直線が直交するとき，内積\vectit・・・

　国立 静岡大学 2011年 第3問

実数tが0≦t≦2/3の範囲を変化するとき，2つの曲線
C:y=-2x2+3x,Ct:y=|x2-3tx|
で囲まれる図形の面積をS(t)とおく．次の問いに答えよ．
(1)2曲線C,Ctの交点のx座標をすべて求めよ．
(2)S(t)をtの式で表せ．
(3)S(t)を最大にするtの値を求めよ．