「最大」について

　国立 名古屋大学 2011年 第1問

-1/4＜s＜1/3とする．xyz空間内の平面z=0の上に長方形
Rs={f(x,y,0)\;|\;1≦x≦2+4s,1≦y≦2-3s}
がある．長方形Rsをx軸のまわりに1回転してできる立体をKsとする．
(1)立体Ksの体積V(s)が最大となるときのsの値，およびそのときのV(s)の値を求めよ．
(2)sを(1)で求めた値とする．このときの立体Ksをy軸のまわりに1回転してできる立体Lの体積を求めよ．

　国立 岡山大学 2011年 第4問

f(x)=e^{-x2}とする．曲線y=f(x)上の点A(a,f(a))における接線をℓ，原点Oを通りℓに垂直な直線をℓ´とし，ℓとℓ´との交点をPとする．
(1)線分OPの長さを求めよ．
(2)ℓとy軸との交点をQとし，∠POQをθ(0≦θ≦π)とする．sinθをaを用いて表せ．
(3)(2)で求めたsinθを最大にするaの値と，そのときのsinθの値を求めよ．

　国立 金沢大学 2011年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&3\\
1&2
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
√3&-√3\\
1&1
\end{array})に対して，B=P^{-1}APとおく．また，n=1,2,3,・・・に対して，an,bnを
(\begin{array}{c}
an\\
bn 
\end{array})=An(\begin{array}{c}
2\\
0
\end{array})
で定める．次の問いに答えよ．
(1)P^{-1}およびBを求めよ．
(2)an,bnを求めよ．
(3)実数xを超えない最大の整数を[\;x\;]で・・・

　国立 東京工業大学 2011年 第4問

平面上に一辺の長さが1の正方形DおよびDと交わる直線がある．この直線を軸にDを回転して得られる回転体について以下の問に答えよ．
(1)Dと同じ平面上の直線ℓはDのどの辺にも平行でないものとする．軸とする直線はℓと平行なものの中で考えるとき，回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わることを示せ．
(2)Dと交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ．

　国立 千葉大学 2011年 第5問

aは正の実数とし，座標平面上の直線ℓ:y=xと放物線C:y=ax2を考える．C上の点(x,y)\bigl(　ただし　0＜x＜1/a\bigr)でℓとの距離を最大にする点をP(s,t)とおく．またPとℓの距離をdとおく．以下の問いに答えよ．
(1)d,s,tをそれぞれaの式で表せ．また点Pでの放物線Cの接線の傾きを求めよ．
(2)実数aをa＞0の範囲で動かしたとき，点P(s,t)の軌跡を求め，図示せよ．

　国立 筑波大学 2011年 第2問

自然数nに対し，関数
Fn(x)=∫x^{2x}e^{-tn}dt(x≧0)
を考える．
(1)関数Fn(x)(x≧0)はただ一つの点で最大値をとることを示し，Fn(x)が最大となるようなxの値anを求めよ．
(2)(1)で求めたanに対し，極限値\lim_{n→∞}loganを求めよ．

　国立 千葉大学 2011年 第14問

次の問いに答えよ．
(1)不等式
\sqrt{x2+y2}≧x+y+a\sqrt{xy}
が任意の正の実数x,yに対して成立するような，最大の実数aの値を求めよ．
(2)0以上1以下の実数a,b,c,dに対して
abcd≦4/27　または　(1-a2)(1-b2)(1-c2)(1-d2)≦4/27
が成り立つことを証明せよ．

　国立 東京医科歯科大学 2011年 第2問

座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．
\mon[(a)]点Pはx軸上にあり，そのx座標は正である．
\mon[(b)]点Qは第1象限にあって，　OQ　=　QP　=1を満たす．
\mon[(c)]点Rは第1象限にあって，　OR　+　RP　=2を満たし，かつ線分RPがx軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pのx座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範・・・

　国立 鳥取大学 2011年 第4問

半径a\;cmの球Bを，球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒v\;cmの速さで下の方向に動かし，水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく．球Bを沈め始めてからt秒後までにあふれ出る水の体積をV\;cm3とするとき，次の問いに答えよ．ただし，a,vは正の定数で，容器Qに球Bを完全に水没させることができるとする．
(1)Vをa,v,tの式で表せ．また変化率dV/dtが最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．
(2)容器Qは一辺の長さがbの正四面体から一面を取り除いた形をしてお・・・

　国立 宇都宮大学 2011年 第5問

座標平面上の直線y=mx(m＞0)をℓとする．点(1,0)をP1とし，P1からℓに下ろした垂線の足をQ1，Q1からx軸に下ろした垂線の足をP2とする．以下同様にPn(n=1,2,・・・)からℓに下ろした垂線の足をQn，Qnからx軸に下ろした垂線の足をP_{n+1}とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)△P1Q1P2の面積S1をmを用いて表せ．
(2)△PnQnP_{・・・