「最大」について

　公立 名古屋市立大学 2011年 第1問

座標平面上の点(1,0)に物体Aがある．さいころを振り，1から4の目が出たら原点から距離1だけ遠ざけ，5または6の目が出たときには原点のまわりに15度時計方向と逆回りに回転させる．物体Aがy軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．
(1)物体Aが点(0,n)(n=1,2,3,・・・)に達する確率Pnを求めよ．
(2)Pnを最大にするnを求めよ．

　公立 島根県立大学 2011年 第2問

\frac{x+y}{5}=\frac{y+3z}{11}=\frac{5z-3x}{8}≠0のとき，次の問いに答えよ．
(1)x:y:zの比を求めよ．
(2)\frac{-3x3+(9y+z)x2-3y(z+2y)x+2y2z}{x3-x2y-xz2+yz2}の値を求めよ．
(3)x,y,zを3辺とする三角形の最大角の大きさを求めよ．

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

放物線C:y=\frac{x2}{2}を考える．0＜a＜√2を満たす定数aに対して，点(a3,\frac{3a2}{2}+1)をPで表す．
(1)点PとC上の点(t,\frac{t2}{2})との距離が最小となるtをaを用いて表せ．
(2)(1)で求めたtに対して，点(t,\frac{t2}{2})をQとおく．点QにおけるCの接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるようにaを定めよ．

　国立 広島大学 2010年 第4問

nは2以上の自然数とする．袋の中に1からnまでの数字が1つずつ書かれたn個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行をA，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ4,2,4のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者がk人(k=1,2,3)である確率をPn(k)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)勝者が3人で・・・

　国立 広島大学 2010年 第4問

nは2以上の自然数とする．袋の中に1からnまでの数字が1つずつ書かれたn個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行をA，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ4,2,4のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者がk人(k=1,2,3)である確率をPn(k)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)勝者が3人で・・・

　国立 九州大学 2010年 第2問

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう1回サイコロを振って，2つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が7以上になった場合は得点は0点とする．この取決めによって，2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．
(1)競技者が常にサイコロを2回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)・・・

　国立 九州大学 2010年 第2問

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう1回サイコロを振って，2つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が7以上になった場合は得点は0点とする．この取決めによって，2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．
(1)競技者が常にサイコロを2回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)・・・

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

半径Rの円Cの中心を通る直線をℓとする．円C上の2点A，Bは弦ABがℓと交わらないように動くものとする．ℓを軸として弦ABを回転させてできる図形の面積をSとする．ただし，直線ℓは円Cと同一平面上にあるものとする．
(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABがℓと平行のときSが最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，Sの最大値を求めよ．

　国立 東京工業大学 2010年 第2問

aを正の整数とする．正の実数xについての方程式
(*)x=[1/2(x+a/x)]
が解を持たないようなaを小さい順に並べたものをa1,a2,a3,・・・とする．ここに[]はガウス記号で，実数uに対し，[\;u\;]はu以下の最大の整数を表す．
(1)a=7,8,9の各々について，(*)の解があるかどうかを判定し，ある場合は解xを求めよ．
(2)a1,a2を求めよ．
(3)Σ_{n=1}^{∞}\frac{1}{an}を求めよ・・・

　国立 横浜国立大学 2010年 第4問

a,bを正の実数とする．曲線
C:\frac{x2}{a2}+\frac{(y-b)2}{b2}=1
は領域D:x2+y2≦1に含まれている．次の問いに答えよ．
(1)(a,b)が存在する範囲をab平面上に図示せよ．
(2)Cが囲む部分の面積が最大になるときのa,bの値を求めよ．