「最大」について

　国立 京都工芸繊維大学 2010年 第3問

関数f(t)=2(cost-sint),g(t)=cost+sintを用いて媒介変数表示された，xy平面上の曲線C:x=f(t),y=g(t)がある．点A(3/4,3/2)からC上の点P(f(t),g(t))までの距離APの2乗　AP　2をh(t)とおく．
(1)d/dth(t)=0となるtの値を0≦t≦2πの範囲ですべて求めよ．
(2)Cは楕円であることを示せ．
(3)PがC上を動くとき，APを最小にするPの座標，およびAPを最大にするPの座標を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数全体で定義された関数f(x)=x-[x]について，-3≦x≦3での関数のグラフを図示せよ．ただし，[x]はxを超えない最大の整数を表す．
(2)実数全体で定義された関数g(x)=(x-[x])e^{-x}について，\lim_{n→∞}∫1ng(x)dxを求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数全体で定義された関数f(x)=x-[x]について，-3≦x≦3での関数のグラフを図示せよ．ただし，[x]はxを超えない最大の整数を表す．
(2)実数全体で定義された関数g(x)=(x-[x])e^{-x}について，\lim_{n→∞}∫1ng(x)dxを求めよ．

　国立 愛媛大学 2010年 第9問

nを自然数とし，集合A,Bを
\begin{align}
A={a\;|\;a&　は条件(★)をみたす自然数　}\nonumber\\
B={a\;|\;a&　は条件(☆)をみたす自然数　}\nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．
\mon[(★)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの実数解α,βをもち，α-βは整数である．
\mon[(☆)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの整数解α,βをもつ．

(1)2つの集合・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第2問

次の各問いに答えよ．
(1)直線ℓ:y=ax+bが原点を中心とする半径1の円と点(\frac{√3}{2},-1/2)で接しているとする．また，直線ℓは放物線C:y=x2-√3x+cとも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)]定数a,bの値を求めよ．
\mon[(b)]放物線Cと直線ℓとの接点の座標および定数cの値を求めよ．
\mon[(c)]放物線Cと直線ℓおよびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)0\le・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第2問

次の各問いに答えよ．
(1)直線ℓ:y=ax+bが原点を中心とする半径1の円と点(\frac{√3}{2},-1/2)で接しているとする．また，直線ℓは放物線C:y=x2-√3x+cとも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)]定数a,bの値を求めよ．
\mon[(b)]放物線Cと直線ℓとの接点の座標および定数cの値を求めよ．
\mon[(c)]放物線Cと直線ℓおよびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)0≦・・・

　国立 東京農工大学 2010年 第2問

a,bを実数とする．行列
A=(\begin{array}{cc}
-5&-3\
6&4
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&-2
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
-1&-1\
a&b
\end{array})
について次の問いに答えよ．
(1)AP=PBを満たすように実数a,bを定めよ．
(2)正の整数nについてAnを求めよ．
(3)Anの成分のうち最大のものをanとする．anを求めよ．
(4)Sn=Σ_{k=1}n(a_{2k-1}+2a_{2k})rkとおく．・・・

　国立 愛知教育大学 2010年 第5問

直線y=\frac{5-x}{4}上の点P(p,\frac{5-p}{4})(p＞1)から曲線C:y=1-x2へ2本の接線ℓ1,ℓ2を引くことができる．
(1)ℓ1とCとの接点をA，ℓ2とCとの接点をBとし，それぞれのx座標をα,β(α＜β)とする．β-αをpの式で表せ．
(2)∠APB=θとする．tanθをpの式で表せ．ただし0≦θ≦πとする．
(3)点Pがp＞1の範囲を動くと・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)直線ℓ:y=ax+bが原点を中心とする半径1の円と点(\frac{√3}{2},-1/2)で接しているとする．また，直線ℓは放物線C:y=x2-√3x+cとも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)]定数a,bの値を求めよ．
\mon[(b)]放物線Cと直線ℓとの接点の座標および定数cの値を求めよ．
\mon[(c)]放物線Cと直線ℓおよびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)0≦・・・

　国立 宮城教育大学 2010年 第3問

関数y=x3-3x2+3について，次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフに点(3,-1)から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，そのx座標が最小のものをA，最大のものをBとする．2点A,Bを通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点をP(s,s3-3s2+3)とする．ただし，2-√3＜s＜2+√3である．このとき，点Pと(2)で求めた直線との距離dをsで表し，dの最大値を求めよ．