「最大」について

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

tを0＜t＜1を満たす実数として，関数f(x)を
f(x)=-x2+(1+t2)x-t2
と定める．座標平面において，原点Oから放物線y=f(x)へ引いた接線のうち，接点のx座標が正のものを考える．その接点をP(p,f(p))とおく．
(1)点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)放物線y=f(x)のx≦pの部分，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS1とする．S1をtを用いて表せ．
(3)線分OP，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS2とし，(2)のS1に対してS=S2-S1とお・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

座標平面上に3点O(0,0)，A(4,0)，B(0,3)がある．実数a,bに対し，点P(4a,3b)，点Q(4a-4,3b)，点R(4a,3b-3)をとる．三角形PQRと三角形OABの共通部分が六角形となるとき，六角形の面積をSとする．次の設問に答えよ．
(1)Sをa,bを用いて表せ．
(2)Sを最大とするa,bの値と，そのときのSの値を求めよ．

　私立 金沢工業大学 2015年 第4問

半径が1の球に内接する直円柱を考え，この直円柱の底面の半径をxとし，体積をVとする．
(1)V=[ケ]πx2\sqrt{[コ]-x2}である．
(2)dV/dx=\frac{[サ]πx(2-[シ]x2)}{\sqrt{[ス]-x2}}である．
(3)Vが最大になるのはx=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}のときであり，その最大値は\frac{[タ]\sqrt{[チ]}}{[ツ]}πである．

　私立 北里大学 2015年 第2問

kは定数とする．楕円\frac{x2}{4}+y2=1と直線x+√3=kyの共有点をP，P´とする．また楕円の2つの焦点をF(√3,0)，F´(-√3,0)とする．
(1)△PP´Fの面積をkを用いて表せ．
(2)△PP´Fの内接円の半径を最大にするkの値を求めよ．

　私立 北里大学 2015年 第3問

実数全体を定義域とする関数f(x)は奇関数で微分可能であるとする．さらに，f´(x)も微分可能でf´(0)=0を満たし，x＞0の範囲でf^{\prime\prime}(x)＞0であるとする．y=f(x)のグラフをC1，C1をx軸方向にa，y軸方向にf(a)だけ平行移動した曲線をC2とする．ただし，aは正の定数とする．
(1)f(0)の値を求めよ．
(2)f´(x)は偶関数であることを示せ．
(3)C1とC2の共有点の個数が2個であることを示し，その2点のx座標を求めよ．
(4)C1とC2で囲まれる図・・・

　私立 獨協医科大学 2015年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)定数aを正の実数とする．関数
f(θ)=4sin2θ+6cos2θ+4a(sinθ+2cosθ)+a2+1
の0≦θ≦πにおける最大値をM，最小値をmとする．
t=sinθ+2cosθとおく．f(θ)をtを用いて表すと
f(θ)=[ア]t2+4at+a2-[イ]
である．
M=a2+[ウ]\sqrt{[エ]}a+[オ]であり，これを与えるθの値をθ0とすると，tanθ0=\frac{\・・・

　私立 南山大学 2015年 第3問

関数f(x)=xe^{-x}を考える．
(1)0≦x≦4の範囲でf(x)の増減と凹凸を調べ，0≦x≦4の範囲でy=f(x)のグラフをかけ．
(2)tを正の数とし，y=f(x)のグラフとx軸，および直線x=tとx=2tで囲まれた図形の面積S(t)をtの式で表せ．
(3)(2)のS(t)が最大となるtの値を求めよ．また，S(t)の最大値を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2015年 第10問

f(x)=k(1-x)2x3とする．0≦x≦1の範囲でf(x)が最大となるxの値を求めよ．ただし，kは
∫01k(1-x)2x3dx=1
を満たす実数とする．

　国立 京都大学 2014年 第3問

△ABCは，条件∠B=2∠A，BC=1を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする．このとき，cos∠Bを求めよ．

　国立 埼玉大学 2014年 第4問

xy平面上で，媒介変数θにより
x=\sqrt{cos2θ}cosθ,y=\sqrt{cos2θ}sinθ(-π/4≦θ≦π/4)
と表される曲線をCとする．
(1)曲線C上でy座標が最大となる点の座標を(p,q)とする．(p,q)を求めよ．
(2)曲線Cで囲まれた図形のうちx≧pの部分の面積を求めよ．ただし，pは(1)で求めたx座標である．