「最大」について

　国立 広島大学 2014年 第5問

1辺の長さが1の正六角形において，頂点を反時計回りにP1，P2，P3，P4，P5，P6とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を順にj,kとする．P1，Pj，Pkが異なる3点となるとき，この3点を頂点とする三角形の面積をSとする．P1，Pj，Pkが異なる3点とならないときは，S=0と定める．次の問いに答えよ．
(1)S＞0となる確率を求めよ．
(2)Sが最大となる確率を求めよ．
(3)Sの期待値・・・

　国立 千葉大学 2014年 第2問

座標平面上に，原点を中心とする半径1の円と，その円に外接し各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある．円周上の点(cosθ,sinθ)（ただし0＜θ＜π/2）における接線と正方形の隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にするθを求めよ．

　国立 千葉大学 2014年 第6問

自然数nに対して，和
Sn=1+1/2+1/3+・・・+1/n
を考える．
(1)各自然数nに対して2k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき，2つの奇数an,bnが存在して
Sn=\frac{an}{2^{f(n)}bn}
と表されることを示せ．
(2)n≧2のときSnは整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数m,n(m＜n)に対して，和
S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/n
を考える．S_{m,n}はどんなm,n(m＜n)に対しても整数にならな・・・

　国立 岡山大学 2014年 第3問

関数f(x)を
f(x)=[x]+2(x-[x])-(x-[x])2
と定める．ここで，[x]はn≦xを満たす最大の整数nを表す．
(1)f(x)≧xであることを示せ．
(2)f(x+1)=f(x)+1であることを示せ．
(3)0≦x≦2において，y=f(x)のグラフを描け．
(4)0≦a＜1とするとき，∫a^{a+1}f(x)dxを求めよ．

　国立 金沢大学 2014年 第1問

aを実数とする．このとき，座標空間内の球面S:x2+y2+z2=1と直線ℓ:(x,y,z)=(2,-1,0)+t(-1,a,a)について，次の問いに答えよ．
(1)Sとℓが異なる2点で交わるようなaの値の範囲を求めよ．
(2)aの値が(1)で求めた範囲にあるとき，Sとℓの2つの交点の間の距離dをaを用いて表せ．
(3)(2)のdが最大となるような実数aの値とそのときのdを求めよ．

　国立 金沢大学 2014年 第2問

関数y=\frac{1}{ex+e^{-x}}のグラフCについて，次の問いに答えよ．
(1)Cの変曲点のうち，x座標が最大となる点Pのx座標を求めよ．
(2)(1)で求めたPのx座標をbとするとき，
tanθ=eb
をみたすθ(0＜θ＜π/2)に対し，tan2θおよびθの値を求めよ．
(3)上のbに対する直線x=bとx軸，y軸およびCで囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 信州大学 2014年 第4問

次の各問いに答えよ．
(1)3つのベクトルベクトルa=(2,1,1)，ベクトルb=(2,s,t)，ベクトルc=(p,q,2)が次の条件をみたすような，s,t,p,qの値を求めよ．
(i)|ベクトルa|=|ベクトルb|
(ii)ベクトルaとベクトルbのなす角は60°
(iii)ベクトルcはベクトルaとベクトルbの両方に直交する．
(2)nを0以上の整数とする．n+1個の自然数20,21,・・・,2nの中に，最上位の桁の・・・

　国立 岩手大学 2014年 第1問

直円柱に対して，底面の半径をx，高さをh，表面積（側面積と2つの底面積の合計）をS，体積をVで表すことにする．ただし，x＞0，h＞0とする．以下の問いに答えよ．
(1)Sをxとhを用いて表せ．
(2)hをxとSを用いて表せ．また，VをxとSを用いて表せ．
(3)Sが一定のもとで，Vが最大になるときのxの値を求めよ．
(4)Sが一定のもとで，Vが最大になるときのxとhの比，すなわちx:hを求めよ．

　国立 福岡教育大学 2014年 第3問

an=-2n+212で定められる数列{an}を次のような群に分け，第k群にはk個の項が入るようにする．
a1\qquad|a2,a3|a4,a5,a6|a7,a8,a9,a_{10}|・・・
第1群第2群\qquad第3群\qquad第4群
第k群に含まれるすべての項の和をSkとするとき，次の問いに答えよ．
(1)Skを求めよ．
(2)Skが最大となる群に含まれる項の平均値を求めよ．
(3)|Sk|=|S_{k+1|}を満た・・・

　国立 福岡教育大学 2014年 第3問

aを定数とする．an=-2n+aで定められる数列{an}を次のような群に分け，第k群にはk個の項が入るようにする．
a1\qquad|a2,a3|a4,a5,a6|a7,a8,a9,a_{10}|・・・
第1群第2群\qquad第3群\qquad第4群
第k群に含まれるすべての項の和をSkとするとき，次の問いに答えよ．
(1)Skを求めよ．
(2)a=212のとき，Skが最大となる群に含まれる項の平均値を求めよ．
(3)・・・