「最大」について

　国立 琉球大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)定積分∫0^{π/4}xcos2xdxを求めよ．
(2)AB=AC=1である二等辺三角形ABCにおいて，BC=2x，内接円の半径をrとおく．
\mon[①]rをxを用いて表せ．
\mon[②]rが最大となるxの値を求めよ（最大値そのものは求める必要はない）．

　国立 奈良女子大学 2014年 第2問

rを0＜r＜2をみたす実数とする．座標平面上の4点A(2-r,2-r)，B(-2+r,2-r)，C(-2+r,-2+r)，D(2-r,-2+r)を頂点とする正方形を考える．この正方形ABCDの周上を動く点をPとし，Pを中心とする半径rの円をOとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pが線分AB上をAからBまで動くとき，円Oの周および内部が通過してできる図形の面積を求めよ．
(2)点Pが正方形ABCDの周上を一周するとき，円\・・・

　国立 三重大学 2014年 第5問

実数aに対して，下の4つの条件p,q,r,sを考える．ただし，実数kに対して，[k]はk以下の最大の整数を表し，\langlek\rangleはk以上の最小の整数を表すとする．たとえば，k=2.15のとき，[k]=2であり，\langlek\rangle=3である．また，|k|はkの絶対値を表す．
p:x2+4x+a2=0を満たす実数xが存在する．
q:[a]＜\langlea\rangle
r:|a-1.5|＜\frac{1}{|a-1.5|+1.5}
s:0＜a＜π，かつ，sin\lef・・・

　国立 山梨大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)標高376mの地点から富士山に登りはじめた．一般に，2地点の大気圧の比はその2地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が850m上昇するごとに10%ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は990hPaであった．この日の富士山の山頂3776mでの大気圧は何hPaか．答は小数第1位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が200円，定価が350円の商品Aの1日の売り上げ総数をNとする．\・・・

　国立 山梨大学 2014年 第2問

aは定数で0≦a≦1とする．3次関数f(x)=(x+1)x(x-a)およびg(x)=f(x-1)を考える．
(1)2曲線y=f(x)とy=g(x)のすべての交点のx座標を求めよ．
(2)2曲線y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分をAとする．Aの面積S(a)およびAのx≦aをみたす部分の面積S1(a)を求めよ．
(3)(2)のAで不等式x≧aをみたす部分の面積をS2(a)とする．S2(a)が最大となるときのaの値とその最大値を求めよ．

　国立 山梨大学 2014年 第2問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})が，実数kに対し，A2-kA=(k-3)Eを満たすとする．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)b≠0またはc≠0のとき，a+dおよびad-bcをkを用いた式で表せ．
(2)実数kがA(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})を満たすとき，kの値を求めよ．
(3)kを定数として，bcが最大となるようなa,dとそのときのbcを・・・

　国立 山梨大学 2014年 第3問

座標平面上の原点をO，曲線y=x3上の点P(t,t3)(t＞0)における接線とx軸との交点をQとし，またα=∠POQ，β=∠OPQとする．
(1)点Qの座標をtを用いた式で表せ．
(2)tanαおよびtanβをtを用いた式で表せ．
(3)tanβが最大となるようなtとそのときのβの値を求めよ．

　国立 山梨大学 2014年 第4問

楕円E:\frac{x2}{32}+\frac{y2}{22}=1および直線ℓ:y=kx(k＞0)とそれらの交点A，Bについて，次の問いに答えよ．
(1)線分ABの長さをkを用いた式で表せ．
(2)楕円E上の点Pでの接線が直線ℓに平行なとき，点Pの座標をkを用いた式で表せ．
(3)楕円E上の点Cを三角形ABCの面積が最大となる点とするとき，三角形ABCの面積を求めよ．

　国立 大分大学 2014年 第3問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．

　国立 大分大学 2014年 第4問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．