「最大」について

　国立 九州工業大学 2014年 第3問

関数s(t)はつねにs´(t)＞0をみたし，s(0)=0とする．座標平面上を運動する点Pの座標(x,y)は，時刻tの関数としてx=s(t)，y=1/2{s(t)}2で与えられ，点Pの速度ベクトルv=(dx/dt,dy/dt)は
|ベクトルv|=\frac{1}{\sqrt{1+{s(t)}2}}
をみたすとする．また，α=s(-4/3)，β=s(4/3)とおく．次に答えよ．
(1)\disp・・・

　国立 防衛医科大学校 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)[1/3x+1]=[2x-1]を満たす実数xの範囲を求めよ．ここで，[x]はxを超えない最大の整数である．
(2)△ABCと，ベクトルMA+ベクトルMB+kベクトルMC=ベクトル0(k＞0)を満たす点Mが存在する．点Aと点Mを通る直線と辺BCの交点をNとする．3/4ベクトルBC=ベクトルBNのとき，kはいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列{an}(n=1,2,3,・・・)が，漸化式・・・

　国立 高知大学 2014年 第3問

丸いピザを包丁で，まっすぐに切る．1回切るとどんな切り方をしてもピザは2片に分割される．2回だと3片か4片に分割される．このとき，n回切ったときの最大分割数をanとおく．例えばa1=2，a2=4，a3=7である．次の問いに答えよ．
(1)a3≧7，a4≧11，a5≧16であることを図により確かめよ．
(2)n回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数をpnとおく．上手に切れば
a_{n+1}=an+p_{n+1}
となる．このときのp_{n+1}を求めよ・・・

　国立 群馬大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)3次方程式x3-3x+1=0は相異なる3つの実数解をもつことを示せ．
(2)x3-3x+1=0の解で最小のものをα，最大のものをβとする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
∫_α^β|x2-1|dx

　国立 宇都宮大学 2014年 第1問

8人の生徒a,b,c,d,e,f,g,hに対して3つの部屋A，B，Cがある．A，B，Cの最大収容人数はAが3人，Bが4人，Cが5人である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)生徒全員を一列に並べるとき，cとdが隣り合う並べ方は何通りあるか．
(2)生徒全員を3つの部屋に入れるとき，Aの人数が3人になるような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(3)生徒全員を3つの部屋に入れるとき，c・・・

　国立 浜松医科大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)rは自然数，nはrより大きい整数とする．2項係数\comb{k+r}{r}(k=0,1,・・・,n-r)の次の等式を示せ．
Σ_{k=0}^{n-r}\comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1}
以下整数n(n≧2)に対し，次の確率分布に従う確率変数Xを考える．
P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}}(k=0,1,・・・,n-1)
(2)Xの期待値\mun=E(X)を求めよ．また，P(X≧m)≧1/2を満たす最大の整数mをMnとするとき，極限値\d・・・

　国立 山口大学 2014年 第4問

座標平面において，点O(0,0)，点A(1,1)がある．方程式y=-ax+2a+2が表す直線をℓとするとき，次の問いに答えなさい．ただし，aは正の実数とする．
(1)直線ℓに関して点Aと対称な点をA´とする．A´の座標を求めなさい．
(2)点Pが直線ℓ上を動くときのOP+PAの最小値を，aを用いて表しなさい．
(3)(2)で求めたOP+PAの最小値をf(a)とするとき，f(a)を最大にするようなaの値を求めなさい．

　国立 東京海洋大学 2014年 第3問

座標空間内の定点A(0,0,1)と2つの点P(p,p,0)，Q(q,-q,0)が∠PAQ=π/3をみたしている．ただし，p＞0，q＞0とする．また，以下においてOを座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．
(1)三角形APQの面積はpとqの値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体OAPQの体積が最大のとき，点P，Qの座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．

　国立 和歌山大学 2014年 第4問

曲線C:y=ex上の点P，Qにおける接線をそれぞれℓ,mとする．P，Qのx座標をそれぞれlogt，log2tとし，曲線Cと直線ℓ,mで囲まれた部分の面積をSとする．また，ℓ,mの傾きをそれぞれtanα，tanβとする．ただし，t＞0，-π/2＜α＜π/2，-π/2＜β＜π/2である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)tanα,tanβおよびSをそれぞれtを用いて表せ．・・・

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

x軸の正の部分を動く点P(t,0)(t＞0)と2点A(0,3)，B(0,7)がある．
(1)3点A，B，Pを通る円の中心の座標をtを用いて表せ．
(2)2点A，Bを通り，x軸の正の部分に接する円の方程式を求めよ．
(3)∠APBの大きさを最大にする点Pの座標を求めよ．