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    鳥取大学 国立 鳥取大学 2014年 第4問
    0≦θ≦π/2を満たす実数θに対して,関係式
    \frac{x2}{(cosθ+2)2}+\frac{y2}{(sinθ+3)2}=1
    を満たす第1象限内の点で,積xyの値を最大にする点をP(θ)とする.
    (1)P(0)の座標を求めよ.
    (2)P(θ)(0≦θ≦π/2)の軌跡の方程式を求めよ.
    東京学芸大学 国立 東京学芸大学 2014年 第4問
    f(x)を区間[0,1]で定義された連続な関数とする.このとき,定積分
    I=∫01[2f(x)log(x+1)-{f(x)}2]dx
    について下の問いに答えよ.
    (1)Iの値を最大にするようなf(x)を求めよ.
    (2)Iの最大値を求めよ.
    愛媛大学 国立 愛媛大学 2014年 第5問
    nは自然数,p0,p1,・・・,pnはp0>0,・・・,pn>0かつp0+p1+・・・+pn=1を満たす定数とする.ポイント0,1,2,・・・,n-1,nが,それぞれp0,p1,p2,・・・,p_{n-1},pnの確率で得られる試行Tを考える.試行Tを1回行って得られるポイントの期待値をaとし,A=[a]+1とする.ただし,実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す.競技者は,試行Tを下記の各設問のルールに従って何回か行う.
    (1)kを1≦k≦nを満たす整数とする.競技・・・
    千葉大学 国立 千葉大学 2014年 第3問
    座標平面上に,原点を中心とする半径1の円と,その円に外接し各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある.円周上の点(cosθ,sinθ)(ただし0<θ<π/2)における接線と正方形の隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを示せ.また,その三角形の面積を最大にするθを求めよ.
    千葉大学 国立 千葉大学 2014年 第5問
    座標平面上に,原点を中心とする半径1の円と,その円に外接し各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある.円周上の点(cosθ,sinθ)(ただし0<θ<π/2)における接線と正方形の隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを示せ.また,その三角形の面積を最大にするθを求めよ.
    千葉大学 国立 千葉大学 2014年 第2問
    座標平面上に,原点を中心とする半径1の円と,その円に外接し各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある.円周上の点(cosθ,sinθ)(ただし0<θ<π/2)における接線と正方形の隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを示せ.また,その三角形の面積を最大にするθを求めよ.
    千葉大学 国立 千葉大学 2014年 第2問
    座標平面上に,原点を中心とする半径1の円と,その円に外接し各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある.円周上の点(cosθ,sinθ)(ただし0<θ<π/2)における接線と正方形の隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを示せ.また,その三角形の面積を最大にするθを求めよ.
    千葉大学 国立 千葉大学 2014年 第5問
    自然数nに対して,和
    Sn=1+1/2+1/3+・・・+1/n
    を考える.
    (1)各自然数nに対して2k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき,2つの奇数an,bnが存在して
    Sn=\frac{an}{2^{f(n)}bn}
    と表されることを示せ.
    (2)n≧2のときSnは整数にならないことを示せ.
    (3)さらに,自然数m,n(m<n)に対して,和
    S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/n
    を考える.S_{m,n}はどんなm,n(m<n)に対しても整数にならな・・・
    慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2014年 第2問
    xに関する3つの関数f1(x)=x(15-x),f2(x)=\frac{x(30-x)}{2},f3(x)=x(17-x)が与えられている.
    (1)x1+x2=c,x1≧0,x2≧0という条件の下でf1(x1)+f2(x2)を最大にする問題を考える.ただし,cは20以下の正数とする.最大値V(c)を与えるx1,x2の値をそれぞれp,qとすると,q=\frac{[10][11]}{[12][13]}cである.V(c)=42となるcの値は[14][15]である.
    (2)x1+x2+x3=20,x1≧・・・
    慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2014年 第3問
    下図のように,等しい辺の長さがa,その挟む角(頂角)が2θである二等辺三角形を4つ使って四面体を作る.x=cos2θとおけば,四面体の体積Vは
    V=\frac{[24][25]}{[26][27]}(1-[28]x)\sqrt{[29]x-1}a3
    となる.このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
    \frac{[30]\sqrt{[31]}}{[32][33]}a3
    である.
    (プレビューでは図は省略します)
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