「最小値」について

　問題集 センター試験 2015年 第1問

2次関数
y=-x2+2x+2・・・・・・①
のグラフの頂点の座標は([ア],[イ])である．また
y=f(x)
はxの2次関数で，そのグラフは，①のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動したものであるとする．
(1)下の[ウ],[オ]には，次の\nagamarurei～\nagamarushiのうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\nagamarurei＞\qquad\nagamaruichi＜\qquad\nagamaruni≧\qq・・・

　国立 東京大学 2015年 第3問

ℓを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の3条件(i)，(ii)，(iii)で定まる円C1，C2を考える．
(i)円C1，C2は2つの不等式x≧0，y≧0で定まる領域に含まれる．
(ii)円C1，C2は直線ℓと同一点で接する．
(iii)円C1はx軸と点(1,0)で接し，円C2はy軸と接する．
円C1の半径をr1，円C2の半径をr2とする．8r1+9r2が最小となるような直線ℓの・・・

　国立 一橋大学 2015年 第4問

xyz空間において，原点を中心とするxy平面上の半径1の円周上を点Pが動き，点(0,0,√3)を中心とするxz平面上の半径1の円周上を点Qが動く．
(1)線分PQの長さの最小値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．
(2)線分PQの長さの最大値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．

　国立 神戸大学 2015年 第1問

s,tをs＜tをみたす実数とする．座標平面上の3点A(1,2)，B(s,s2)，C(t,t2)が一直線上にあるとする．以下の問に答えよ．
(1)sとtの間の関係式を求めよ．
(2)線分BCの中点をM(u,v)とする．uとvの間の関係式を求めよ．
(3)s,tが変化するとき，vの最小値と，そのときのu,s,tの値を求めよ．

　国立 神戸大学 2015年 第2問

座標平面上の楕円\frac{x2}{4}+y2=1をCとする．a＞2，0＜θ＜πとし，x軸上の点A(a,0)と楕円C上の点P(2cosθ,sinθ)をとる．原点をOとし，直線APとy軸との交点をQとする．点Qを通りx軸に平行な直線と，直線OPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)(1)で求めた点Rのy座標をf(θ)とする．このとき，0＜θ＜πにおけるf(θ)の最大・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第3問

曲線C:y=sin2xについて，C上の点(t,sin2t)(0≦t≦π/2)におけるCの接線と直線x=aとの交点をPとする．ただし，aは0≦a≦π/2を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pのy座標をf(t)とおくとき，f(t)を求めよ．
(2)関数f(t)の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)tが0≦t≦π/2の範囲を動くとき，点(t,sin2t)・・・

　国立 金沢大学 2015年 第2問

関数f(x)=xexについて，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば\lim_{x→-∞}xex=0を用いてもよい．
(2)不定積分∫xexdx，∫x2e^{2x}dxをそれぞれ求めよ．
(3)0≦t≦1に対しg(x)=f(x)-f(t)とおく．0≦x≦1の範囲で，曲線y=g(x)とx軸ではさまれる部分を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV(t)とする．V(t)を求めよ．
・・・

　国立 東北大学 2015年 第4問

a＞0を実数とする．関数f(t)=-4t3+(a+3)tの0≦t≦1における最大値をM(a)とする．
(1)M(a)を求めよ．
(2)実数x＞0に対し，g(x)=M(x)2とおく．xy平面において，関数y=g(x)のグラフに点(s,g(s))で接する直線が原点を通るとき，実数s＞0とその接線の傾きを求めよ．
(3)aが正の実数全体を動くとき，
k=\frac{M(a)}{√a}
の最小値を求めよ．

　国立 埼玉大学 2015年 第4問

nは2以上の自然数とし，
f(θ)=\frac{cos^{n-1}θsin^{n-1}θ}{cos^{2n}θ+sin^{2n}θ}
とする．次の問いに答えよ．
(1)t=tannθと変数変換することにより，∫0^{π/4}f(θ)dθを求めよ．
(2)0≦θ≦π/2の範囲でf(θ)の最大値および最小値を求めよ．

　国立 埼玉大学 2015年 第4問

関数f(θ)=\frac{cosθsinθ}{cos4θ+sin4θ}について，次の問いに答えよ．
(1)t=tan2θと変数変換することにより，∫0^{π/4}f(θ)dθを求めよ．
(2)f(θ)の最大値および最小値を求めよ．