「最小値」について

　私立 同志社大学 2015年 第2問

連立不等式
{\begin{array}{l}
x2+y2≦2\phantom{\frac{[]}{2}}\
x-y≦√2\phantom{\frac{[]}{2}}\
(1-√2)(x+1)≦y+1\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
の表す領域をDとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)点(x,y)が領域D内を動くとき，k=x+√3yがとる値の最大値とそのときのx,yの値を求めよ．また，kの最小値とそのときのx,yの値を求めよ．
(3)点(x,y)が領域D内を動くと・・・

　私立 獨協医科大学 2015年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)定数aを正の実数とする．関数
f(θ)=4sin2θ+6cos2θ+4a(sinθ+2cosθ)+a2+1
の0≦θ≦πにおける最大値をM，最小値をmとする．
t=sinθ+2cosθとおく．f(θ)をtを用いて表すと
f(θ)=[ア]t2+4at+a2-[イ]
である．
M=a2+[ウ]\sqrt{[エ]}a+[オ]であり，これを与えるθの値をθ0とすると，tanθ0=\frac{\・・・

　私立 同志社大学 2015年 第3問

aを，a＞1を満たす定数とする．関数
y=a^{3x}-3a^{2x+1}+3a^{x+2}+3a^{-x+2}-3a^{-2x+1}+a^{-3x}
を考える．t=ax+a^{-x}とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)tがとる値の範囲を求めよ．
(2)a^{3x}+a^{-3x}をtを用いて表せ．
(3)yをaとtを用いて表せ．
(4)yの最小値をaを用いて求めよ．

　公立 首都大学東京 2015年 第3問

関数f(x)，g(x)を
\begin{array}{l}
f(x)=x3-5x2\
g(x)=3^{3x}+3^{-3x}-5(3^{2x}+3^{-2x})+3(3x+3^{-x})\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}
で定めるとき，以下の問いに答えなさい．
(1)f(x)のすべての極値と極値を与えるxの値を求めなさい．
(2)t=3x+3^{-x}とするとき，g(x)をtの式で表しなさい．
(3)g(x)の最小値と最小値を与えるxの値を求めなさい．

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

座標空間に3点O(0,0,0)，A(0,2,2)，B(3,-1,2)がある．三角形OABの周上または内部の点PはAP=√2，ベクトルOP⊥ベクトルAPを満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点Pの座標を求めなさい．
(2)三角形OBPの面積を求めなさい．
(3)点Qが点Aを中心とする半径√2の球面上を動くとき，点Bから直線OQに引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

関数
f(x)=√2sinx-√2cosx-sin2x
に対して，以下の問いに答えなさい．
(1)t=cos(x+π/4)とおくとき，f(x)をtの式で表しなさい．
(2)f(x)の最大値と最小値を求めなさい．
(3)方程式f(x)=aが0≦x＜2πの範囲で相異なる2つの解をもつための実数aの条件を求めなさい．

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)正弦，余弦に関する加法定理
{\begin{array}{l}
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
を用いて等式
sin3x=3sinx-4sin3x
を証明せよ．
(2)関数y=sin3x+3cos2x+6sinx(0≦x＜2π)の最大値と最小値，およびそのときのxの値をすべて求めよ．

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第5問

関数f(x)=|x2-1|に対し，F(a)=∫a^{a+1}f(x)dxとする．ただし，a＞0とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)のグラフをかけ．
(2)F(a)を求めよ．
(3)F(a)の最小値およびそのときのaの値を求めよ．

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第7問

n=1,2,3,・・・に対し，xの関数fn(x)を
fn(x)=Σ_{k=1}n\frac{{(-1)}^{k-1}}{k}xk=x+・・・+\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}xn
で定める．ただし，0≦x＜1とする．以下の問いに答えよ．
(1)|f_{n+1|(1/2)-fn(1/2)}≦\frac{1}{1000(n+1)}を満たすようなnの最小値を求めよ．
(2)\lim_{n→∞}{fn}´(x)を求めよ．
(3)nが偶数であるとき，不等式fn(x)\le・・・

　公立 富山県立大学 2015年 第1問

a＞0とし，2次関数f(x)=x2-2ax+2a(0≦x≦2)の最小値をm(a)とする．このとき，m(a)の最大値と，そのときのaの値を求めよ．