「最小値」について

　私立 上智大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)3^{2014}は[ア]桁の数であり，最も大きい位の数字は[イ]，一の位の数字は[ウ]である．ただし，
log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771,log_{10}7=0.8451
とする．
(2)連立不等式
{\begin{array}{l}
y≦-2x2-8x-3\
y≧|3x+6|\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
で表される座標平面上の領域をDとする．
(i)Dの面積は\frac{[エ]}{\kakko{・・・

　私立 上智大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)整式f(x)=ax3+bx2+cx+dは，x2+3で割ると余りはx+3であり，x2+x+2で割ると余りは3x+5である．このとき，
a=[ア],b=[イ],c=[ウ],d=[エ]
である．
(2)xの関数
f(x)=(log2x)2+log2(√2x)
は，x=\frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}のとき最小値\frac{[キ]}{[ク]}をとる．
(3)総数100本のくじがあり，その当たりくじの賞金と本数は下の表の通りである．この中か・・・

　私立 上智大学 2014年 第2問

AB=3，BC=3，CA=2である△ABCの辺AB上を動く点をPとし，AP=tとする．点Pから辺ACに下ろした垂線をPQ，辺BCに下ろした垂線をPRとする．ただし，点Pが点Aと一致するとき，点Qも点Aと一致し，点Pが点Bと一致するとき，点Rも点Bと一致するものとする．
(1)CQ=\frac{[サ]}{[シ]}t+[ス]，\t・・・

　私立 上智大学 2014年 第3問

a≧0とし
S(a)=∫01|x2+2ax+a2-1|dx
とおく．
(1)a=1/2のときS(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}である．
(2)等式
S(a)=∫01(x2+2ax+a2-1)dx
が成り立つaの範囲はa≧[ミ]である．
(3)a≧[ミ]のとき
S(a)=[ム]a2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]}
であり，0≦a＜[ミ]のとき
S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a3+[ラ]a2+[リ]a+\frac{\kakko{・・・

　私立 上智大学 2014年 第1問

関数f(x)を
f(x)=asin2x-sinx+cosx
とする．ただし，aを負の実数とする．
(1)t=-sinx+cosxとおくと，f(x)はtを用いて
[ア]at2+[イ]t+[ウ]a
と表される．
(2)f(x)は，\frac{[エ]}{[オ]}\sqrt{[カ]}＜a＜0のとき，

最大値[キ]a+\sqrt{[ク]}
最小値[ケ]a+[コ]\sqrt{[サ]}

をとり，a≦\frac{\k・・・

　私立 東京理科大学 2014年 第3問

aを正の実数として，
f(x)=\frac{ax+1}{x2+2}
とおく．f(x)はx=4/3で極値をとるとする．
(1)aの値は[ア][イ]である．
(2)f(x)の最小値は-[ウ]であり，そのときのxの値は-\frac{[エ]}{[オ]}である．
(3)kを実数として，座標平面上で曲線y=f(x)と直線y=kを考える．その共有点がただ1つになるのは，k=-[カ],[キ],\frac{[ク]}{[ケ]}のときである．

　私立 東京理科大学 2014年 第2問

kを定数として，3次方程式
x3-3/2x2-6x-k=0・・・・・・(*)
を考える．
(1)この方程式が，異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲は
-[ア][イ]＜k＜\frac{[ウ]}{[エ]}・・・・・・(**)
である．
(2)kが(**)の範囲にあるとき，方程式(*)の3つの解をα,β,γ（ただしα＜β＜γ）とおく．
(i)kが(**)の範囲を動くとき，α,β,\ga・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[ス]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)x2-y2-z2+2yzを因数分解すると，[ア]となる．
(2)sinθ-cosθ=1/2のとき，sinθcosθの値は[イ]である．
(3)3次方程式4x3-23x+39=0の解は，x=[ウ]，[エ]，[オ]である．
(4)関数f(x)=4x+4^{-x}-3(2x+2^{-x})+2の最小値は[カ]である．
(5)数列1,3,6,10,15,21,・・・の第n項をnの式で表すと\kakko{・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)1でない実数aに対し，f(x)=x3+ax2+x+1，g(x)=x3+x2+x+aとする．方程式f(x)=0とg(x)=0がただ1つの共通解をもつならば，a=[ア]であり，f(x)=0のすべての解は[イ]である．
(2)x＞0のとき，f(x)=e^{-√3x}sinxの最大値は[ウ]であり，最小値は[エ]である．
(3)z=1/2+\frac{√3}{2}iとするとき，z^{2014}=[オ]+[カ]iである．ただし，・・・

　私立 立教大学 2014年 第2問

kを実数とし，座標平面上の2つの曲線
C1:y=kcosx,C2:y=sin2x
を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)C1,C2が0＜x＜π/2において共有点をもつとき，kの取りうる値の範囲を求めよ．
以下ではkが(1)の条件を満たすものとし，0＜x＜π/2におけるC1，C2の共有点のx座標をaとおく．このとき，次の問に答えよ．
(2)sinaをkを用いて表せ．
(3)座標平面上の0≦x≦aの部分に・・・