「最小値」について

　国立 金沢大学 2013年 第2問

-π/2≦θ≦π/2に対して，関数f(θ)を
f(θ)=2/3sin3θ-sinθ-√3cosθ
とおく．t=sinθ+√3cosθとするとき，次の問いに答えよ．
(1)tのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)sin3θ=3sinθ-4sin3θを示せ．また，\frac{t3-3t}{2}=sin3θが成り立つことを示せ．
(3)f(θ)をtの式で表せ．また，それを利用してf(θ)の最大値と最小値・・・

　国立 金沢大学 2013年 第3問

a＞0とする．x≧0における関数f(x)=e^{\sqrt{ax}}と曲線C:y=f(x)について，次の問いに答えよ．
(1)C上の点P(1/a,f(1/a))における接線ℓの方程式を求めよ．また，Pを通りℓに直交する直線mの方程式を求めよ．
(2)定積分∫0^{1/a}f(x)dxをt=\sqrt{ax}とおくことにより求めよ．
(3)曲線C，直線y=1および直線mで囲まれた図形の面積S(a)を求めよ．また，a＞0におけるS(a)・・・

　国立 神戸大学 2013年 第2問

a,b,cは実数とし，a＜bとする．平面上の相異なる3点A(a,a2)，B(b,b2)，C(c,c2)が，辺ABを斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．
(1)aをb,cを用いて表せ．
(2)b-a≧2が成り立つことを示せ．
(3)斜辺ABの長さの最小値と，そのときのA，B，Cの座標をそれぞれ求めよ．

　国立 九州大学 2013年 第2問

座標平面上で，次の連立不等式の表す領域をDとする．
x+2y≦5,3x+y≦8,-2x-y≦4,-x-4y≦7
点P(x,y)が領域D内を動くとき，x+yの値が最大となる点をQとし，最小となる点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qおよび点Rの座標を求めよ．
(2)a＞0かつb＞0とする．点P(x,y)が領域D内を動くとき，ax+byが点Qでのみ最大値をとり，点Rでのみ最小値をとるとする．このとき，\frac・・・

　国立 熊本大学 2013年 第3問

直方体OABC-DEFGにおいて，OA=OD=1，OC=2とし，辺EFの中点をMとする．また，ベクトルOP=tベクトルOD(0≦t≦1)とし，点Pから線分CMにおろした垂線と線分CMとの交点をHとする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルc=ベクトルOC，ベクトルd=ベクトルODとおくとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルPC,ベクトルCM,ベクトルPMをベクトルa,ベクトルc,ベクトルd,tを用いて表せ．
\・・・

　国立 東京大学 2013年 第3問

a,bを実数の定数とする．実数x,yが
x2+y2≦25,2x+y≦5
をともに満たすとき，z=x2+y2-2ax-2byの最小値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数x,yが(x-2)2+y2≦3を満たすとき，\frac{y-7}{x}のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数nについて13+23+33+・・・+n3={1/2n(n+1)}2が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)0≦θ＜2πのとき，関数y=sin2θ-sin(θ+π/2)の最大値と最小値を求めよ．また，そのときのθの値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数x,yが(x-2)2+y2≦3を満たすとき，\frac{y-7}{x}のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)4次方程式x4+ax3+14x2+16x+b=0がx=-2を2重解としてもつとき，定数a,bの値と他の解を求めよ．
(3)0≦θ＜2πのとき，関数y=sin2θ-sin(θ+π/2)の最大値と最小値を求めよ．また，そのときのθの値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2013年 第3問

点A(a,0)と楕円C:\frac{x2}{3}+y2=1を考える．点Aと楕円C上の点P(u,v)との距離をdとする．ただし，aは正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)dをuの式で表せ．
(2)dの最小値を求めよ．また，そのときのuの値を求めよ．

　国立 長岡技術科学大学 2013年 第2問

cを正の定数とする．平面上の原点O(0,0)および3点A(0,1)，B(0,-1)，C(c,0)について下の問いに答えなさい．
(1)点Pが線分OC上を動くとき，3点からの距離の2乗の和AP2+BP2+CP2の最小値とそのときのPの座標を求めなさい．
(2)点Qが線分OC上を動くとき，3点からの距離の和AQ+BQ+CQの最小値とそのときのQの座標を求めなさい．