「最小値」について

　公立 和歌山県立医科大学 2013年 第1問

関数f(x)を，
f(x)={\begin{array}{ll}
2x+1&(0≦x＜π/2)\
2x+sinx&(x≧π/2)\phantom{\frac{[ア]}{2}}
\end{array}.
と定め，関数g(x)を，g(x)=f(2x)-2f(x)(0≦x≦2π)と定める．
(1)関数g(x)の最大値と最小値，およびそれらをとるxの値を求めよ．
(2)曲線C:y=g(x)の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3)区間[0,2π]で，曲線Cとx軸の・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2013年 第3問

隣り合う辺の長さがa,bの長方形がある．その各辺の中点を順に結んで四角形をつくる．さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形をつくる．このような操作を無限に続ける．
(1)最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和Sを求めよ．
(2)関係a+b=1を満たしながらa,bが動くときのSの最小値を求めよ．

　公立 横浜市立大学 2013年 第3問

座標平面上において，原点を中心とする半径1の円に，放物線C:y=-p/2x2+q(p＞0,q＞0)が異なる2点で接しているとする．以下の問いに答えよ．
(1)p,qの満たす関係式およびp,qの取りうる範囲を求めよ．
(2)x軸とCで囲まれた図形（ただし，y≧0）の面積Sをpを用いて表せ．
(3)(1)の条件の下でpが動くとき，Sの最小値を求めよ．

　公立 秋田県立大学 2013年 第1問

2次関数f(x)=-x2-2x+1，g(x)=-2x2+px+qについて，以下の設問に答えよ．ただし，g(1)=-2，g(-1)=0であり，p,qは実数の定数とする．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．
(1)pとqの値を求めよ．
(2)f(x)＜g(x)となるxの値の範囲を求めよ．
(3)h(x)を次のように定義する．
f(x)≧g(x)の場合はh(x)=f(x)
f(x)＜g(x)の場合はh(x)=g(x)
次に，正の実数kに対してM(k)とm(k)を次のように定義する．
\begin{enumer・・・

　公立 北九州市立大学 2013年 第1問

以下の問いの空欄[ア]～[コ]に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)\sqrt{6+4√2}の小数部分をaとすると，a=[ア]，a2-\frac{1}{a2}=[イ]となる．
(2)2次関数y=3x2-6x+a+6(0≦x≦3)の最小値が5となるような定数aの値は[ウ]である．また，このとき最大値は[エ]である．
(3)0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ，3桁の整数を作るとき・・・

　公立 奈良県立医科大学 2013年 第4問

楕円\frac{x2}{4}+y2=1の第1象限の点Pに接線を引き，x軸との交点をA，y軸との交点をBとする．Pを第1象限で楕円上を動かしたときの線分ABの長さの最小値を求めよ．

　公立 福島県立医科大学 2013年 第3問

A(1,1,0)，B(-1,1,0)，C(-1,-1,0)，D(1,-1,0)，G(0,0,√2)をxyz空間の点とする．正方形ABCDを底面とし，Gを頂点とする四角すいの内部の点P(x,y,z)で，x2+y2≦1を満たす点を集めた図形をVとする．また，平面z=aでVを切断したときの切断面をSaとする．ただし，0＜a＜√2である．以下の問いに答えよ．
(1)Saが正方形となるaの最小値をz0とする．z0の値を求めよ．
(2)(1)のz0につい・・・

　公立 京都府立大学 2013年 第2問

定数aを実数とし，0≦x＜2πとする．関数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2xの最小値が1/2のとき，aの値とそのときのf(x)の最大値を求めよ．

　国立 北海道大学 2012年 第2問

-π/2≦θ≦π/2で定義された関数
f(θ)=4cos2θsinθ+3\!√2cos2θ-4sinθ
を考える．
(1)x=sinθとおく．f(θ)をxで表せ．
(2)f(θ)の最大値と最小値，およびそのときのθの値を求めよ．

　国立 大阪大学 2012年 第1問

a＞0とする．C1を曲線x2+\frac{y2}{a2}=1，C2を直線y=2ax-3aとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点PがC1上を動き，点QがC2上を動くとき，線分PQの長さの最小値をf(a)とする．f(a)をaを用いて表せ．
(2)極限値\lim_{a→∞}f(a)を求めよ．