「最小値」について

　国立 名古屋大学 2012年 第3問

nを2以上の整数とする．1からnまでの整数が1つずつ書かれているn枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．このn枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値をX，最大値をYとする．次の問に答えよ．ただし，jとkは正の整数で，j+k≦nを満たすとする．また，sはn-1以下の正の整数とする．
(1)X≧jかつY≦j+kとなる確率を求めよ・・・

　国立 岡山大学 2012年 第4問

0≦a≦1に対して
f(a)=∫01|(x-a)(x-3+a)|dx
と定める．f(a)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 名古屋大学 2012年 第1問

xy平面上に，点(0,1)を通り，傾きがkの直線ℓがある．
(1)xy平面において，ℓに関して点P(a,b)と対称な点をQ(s,t)とする．このとき，a,b,kを用いてs,tを表せ．ただし，点P(a,b)はℓ上にないとする．
(2)xy平面において，ℓに関して原点O(0,0)と対称な点をAとする．kが-1≦k≦1の範囲を動くとき，線分OAの長さの最大値と最小値を求めよ．
(3)kが-1≦k≦1の範囲を動くときの点Aの軌跡をCとする．Cと直線y=1で囲まれた図形の面・・・

　国立 名古屋大学 2012年 第2問

nを2以上の整数とする．1からnまでの整数が1つずつ書かれているn枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．このn枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値をX，最大値をYとする．次の問に答えよ．ただし，jとkは正の整数で，j+k≦nを満たすとする．また，sはn-1以下の正の整数とする．
(1)X≧jかつY≦j+kとなる確率を求めよ・・・

　国立 九州大学 2012年 第2問

関数f(x)=x3+3x2+x-1を考える．曲線C:y=f(x)について，以下の問いに答えよ．
(1)t≧0のとき，曲線Cは傾きがtである接線を2本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きがtである2本の接線と曲線Cとの接点を，それぞれP(p,f(p))，Q(q,f(q))とする(ただしp＜q)．このとき，点Pと点Qは点A(-1,0)に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)t≧0のとき，2点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qのx座標p,qもそれぞれ求めよ．

　国立 北海道大学 2012年 第2問

-π/2≦θ≦π/2で定義された関数
f(θ)=4cos2θsinθ+3√2cos2θ-4sinθ
を考える．
(1)x=sinθとおく．f(θ)をxで表せ．
(2)f(θ)の最大値と最小値，およびそのときのθの値を求めよ．
(3)方程式f(θ)=kが相異なる3つの解をもつような実数kの値の範囲を求めよ．

　国立 岡山大学 2012年 第3問

aを正の定数とし，座標平面上の2曲線C1:y=e^{x2},C2:y=ax2を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば\lim_{t→+∞}\frac{et}{t}=+∞であることを用いてもよい．
(1)t＞0の範囲で，関数f(t)=\frac{et}{t}の最小値を求めよ．
(2)2曲線C1,C2の共有点の個数を求めよ．
(3)C1,C2の共有点の個数が2のとき，これらの2曲線で囲まれた領域をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 埼玉大学 2012年 第3問

a＞0に対し，
f(a)=\lim_{t→+0}∫t1|ax+xlogx|dx
とおく．次の問いに答えよ．必要ならば，\lim_{t→+0}tnlogt=0(n=1,2,・・・)を用いてよい．
(1)f(a)を求めよ．
(2)aが正の実数全体を動くとき，f(a)の最小値とそのときのaの値を求めよ．

　国立 埼玉大学 2012年 第2問

座標平面内の曲線y=x2上の2点P1(x1,y1)とP2(x2,y2)を両端にもつ長さr＞0の線分P1P2の中点をC(s,t)とする．またa=x1-x2,b=x1+x2とおく．このとき下記の設問に答えなさい．
(1)r2をaとbを用いて表しなさい．
(2)線分P1P2の中点Cのy座標tをbとrを用いて表しなさい．
(3)0＜r＜1とする．このときtはb=0のとき最小値\frac{r2}{4}をとることを示しなさい．
(4)r≧1の場合，tの最・・・

　国立 東北大学 2012年 第4問

0≦x≦πに対して，関数f(x)を
f(x)=∫0^{π/2}\frac{cos|t-x|}{1+sin|t-x|}dt
と定める．f(x)の0≦x≦πにおける最大値と最小値を求めよ．