「最小値」について

　国立 横浜国立大学 2012年 第1問

xy平面上にn個の点Pk(xk,yk)(k=1,2,3,・・・,n)がある．
a=Σ_{k=1}nxk2,b=Σ_{k=1}nyk2,c=Σ_{k=1}nxkyk
とおく．さらに，Pkと直線ℓ:xcosθ+ysinθ=0の距離をdkとし，
L=Σ_{k=1}ndk2
とおく．次の問いに答えよ．
(1)Lをa,b,c,θを用いて表せ．
(2)θが0≦θ＜πの範囲を動くとき，Lの最大値と最小値をa,b,cを用いて表せ．
(3)a≠bまたはc≠0のとき・・・

　国立 静岡大学 2012年 第4問

関数
y=4cosxsin2x-3√3cos2x-8sinx+√3
について，次の問いに答えよ．
(1)t=sinxとおき，yをtの関数として表せ．
(2)0≦x＜2πのとき，yの最大値とそのときのxの値，および，yの最小値とそのときのxの値を求めよ．

　国立 琉球大学 2012年 第2問

次の問に答えよ．
(1)加法定理を用いて，cos2xおよびcos3xをcosxで表せ．
(2)0≦x＜2πのとき，関数f(x)=cos3x+cos2x-2cosxの最大値および最小値を求めよ．

　国立 熊本大学 2012年 第3問

f(θ)=4(sin3θ/2+cos3θ/2)+6(sinθ/2+cosθ/2)(sinθ-2)-√6(sinθ+1)とおく．ただし，θの範囲は0≦θ≦3/2πとする．以下の問いに答えよ．
(1)x=sinθ/2+cosθ/2とおくとき，f(θ)をxのみの式で表せ．
(2)f(θ)の最小値とそのときのθの値を求めよ．

　国立 熊本大学 2012年 第4問

定数aは0＜a＜1をみたすとする．曲線C:y=(x-1)2とC上の点(a,(a-1)2)における接線ℓについて，以下の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)曲線Cと接線ℓおよび2直線x=0,x=1とで囲まれた2つの部分の面積の和S(a)の最小値とそのときのaの値を求めよ．
(3)曲線Cと2直線x=0,y=0とで囲まれ，接線ℓの上側にある2つの部分の面積の和T(a)の最小値とそのときのaの値を求めよ．

　国立 滋賀大学 2012年 第2問

点A(a,1/2)を不等式y＜4x-4x2の表す領域内の点とし，点Aを通り傾きmの直線をℓとする．直線ℓと放物線y=4x-4x2で囲まれた部分の面積をSとするとき，次の問いに答えよ．
(1)aの値の範囲を求めよ．
(2)mを変化させたとき，Sの最小値をg(a)とする．g(a)を与えるmをaを用いて表せ．
(3)g(a)を最大にするaの値を求めよ．また，そのときの直線ℓの方程式を求めよ．

　国立 滋賀大学 2012年 第3問

3個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)出る目の最小値が3以上になる確率を求めよ．
(2)3個のうち，いずれか2個の目の和が8になる確率を求めよ．
(3)出る目の最小値が2以下になり，かつどの2個の目の和も8でない確率を求めよ．

　国立 熊本大学 2012年 第4問

関数f(x)を
f(x)=∫0^{π/2}|sint-xcost|dt(x＞0)
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)a＞0のとき，a=tanθを満たすθ(0＜θ＜π/2)に対して，cosθをaを用いて表せ．
(2)f(x)を求めよ．
(3)f(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ．

　国立 熊本大学 2012年 第1問

n≧4とする．(n-4)個の1と4個の-1からなる数列ak(k=1,2,・・・,n)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)このような数列{ak}は何通りあるか求めよ．
(2)数列{ak}の初項から第k項までの積をbk=a1a2・・・ak(k=1,2,・・・,n)とおく．b1+b2+・・・+bnがとり得る値の最大値および最小値を求めよ．
(3)b1+b2+・・・+bnの最大値および最小値を与える数列{ak}はそれぞれ何通りあるか求めよ．

　国立 熊本大学 2012年 第3問

正の定数aに対して，関数f(x)を
f(x)=∫0^{π/2}|sint-axcost|dt
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)f(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ．