「最小値」について

　国立 三重大学 2012年 第2問

座標平面上でy=x+1で表される直線をℓとする．また，4点A(-1,1)，B(0,-2)，C(3,1)，D(1,3)をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域R1={(x,y)\;|\;y＞x+1}とR2={(x,y)\;|\;y≦x+1}を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域R1,R2のどちらにあるか答えよ．
(2)kを定数とし，直線y=x+k上に点E(x,x+k)をとる．Eと直線ℓの距離が√2となるkの値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線ℓとの距離が√2以下となる点の範囲・・・

　国立 徳島大学 2012年 第1問

a＞0とする．曲線y=a3x2をC1とし，曲線y=-1/x(x＞0)をC2とする．また，C1とC2に同時に接する直線をℓとする．
(1)直線ℓの方程式を求めよ．
(2)直線ℓと曲線C1,C2との接点をそれぞれP，Qとする．aがa＞0の範囲を動くとき，2点P，Q間の距離の最小値を求めよ．

　国立 徳島大学 2012年 第2問

a＞0とする．曲線y=a3x2をC1とし，曲線y=-1/x(x＞0)をC2とする．また，C1とC2に同時に接する直線をℓとする．
(1)直線ℓの方程式を求めよ．
(2)直線ℓと曲線C1,C2との接点をそれぞれP，Qとする．aがa＞0の範囲を動くとき，2点P，Q間の距離の最小値を求めよ．

　国立 徳島大学 2012年 第3問

f(x)=√xe^{-x}(0≦x≦1)とする．
(1)関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 徳島大学 2012年 第2問

f(x)=√xe^{-x}(0≦x≦1)とする．
(1)関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)放物線C:y=x2+6，直線ℓ:y=2xを考える．点PがC上を，点Qがℓ上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとるC上の点P，ℓ上の点Qに対し，線分PQ，放物線C，直線ℓ，及びy軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線C:y=x2+6，直線ℓk:y=2kx-5を考える．点PがC上を，点Rがℓk上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となるkの値を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)放物線C:y=x2+6，直線ℓ:y=2xを考える．点PがC上を，点Qがℓ上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとるC上の点P，ℓ上の点Qに対し，線分PQ，放物線C，直線ℓ，及びy軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線C:y=x2+6，直線ℓk:y=2kx-5を考える．点PがC上を，点Rがℓk上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となるkの値を求めよ．

　国立 島根大学 2012年 第2問

aを実数とする．次の問いに答えよ．
(1)放物線y=x2-x+3aと直線y=3ax+2は異なる2つの交点をもつことを示せ．
(2)(1)の放物線と直線の2つの交点をむすぶ線分の中点をMとする．aが実数全体を動くとき，Mのy座標の最小値を求めよ．
(3)(1)の放物線と直線の2つの交点のx座標をαとβとする．aが実数全体を動くとき，|α|+|β|の最小値を求めよ．

　国立 島根大学 2012年 第3問

tを実数とし，f(t)=∫02|x2-2x+1-t2|dtとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(0)とf(1)の値を求めよ．
(2)0＜t＜1のとき，f(t)を求めよ．
(3)tが0≦t≦1の範囲にあるとき，f(t)の最小値を求めよ．

　国立 宇都宮大学 2012年 第3問

1辺の長さが1の正三角形ABCと，線分BCを1:2に内分する点Dが与えられている．実数x(0≦x≦1)に対し，線分AB上の点Pと線分AC上の点Qを　AP　=　CQ　=xとなるように定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)線分ADの長さを求めよ．
(2)三角形DPQの面積Sをxの式で表せ．
(3)(2)のSについて，Sの最大値と最小値を求めよ．
(4)(2)のSの値が\frac{√3}{8}となるとき，xの値を求めよ．