「最小値」について

　国立 宮城教育大学 2012年 第5問

I(a)を
I(a)=∫_{-1}1|x2-a|dx
で定義する．このとき次の問いに答えよ．
(1)a≦0のときI(a)の最小値を求めよ．
(2)a≧1のときI(a)の最小値を求めよ．
(3)0＜a＜1のとき，t=√aとおいてI(a)をtで表し，I(a)の最小値を求めよ．

　国立 山形大学 2012年 第4問

k＞0とする．原点をOとする座標平面において，2点A,Bは曲線y=1/kx2上にあり，かつ△OABは正三角形とする．また，△OABの内接円をSとし，Cをその中心とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)中心Cの座標を求めよ．
(2)円Sの方程式を求めよ．
(3)Tを中心D(3k,-2k)，半径kの円とする．T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて，その接点をE,Fとする．線分CPの長さ・・・

　国立 長崎大学 2012年 第5問

関数f(x)=xe^{-x2}について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，\lim_{x→∞}xe^{-x2}=0,\lim_{x→-∞}xe^{-x2}=0を用いてよい．
(2)y=f(x)の最大値と最小値，およびそのときのxの値を求めよ．
(3)t＞0とする．曲線y=f(x)，x軸，および直線x=tで囲まれた部分の面積S(t)を求めよ．
(4)(3)で求めたS(t)について，\lim_{t→∞}S(t)を求めよ．

　国立 岩手大学 2012年 第6問

実数t＞1に対して積分
I(t)=∫_{-4}^{4t-4}(x-4)\sqrt{x+4}dx
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)I(t)をtで表せ．
(2)I(t)のt＞1における最小値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)\frac{1}{2+√3+√7}の分母を有理化せよ．
(2)方程式4x2-3x+k=0の2つの解がsinθ,cosθで与えられるとき，定数kの値を求めよ．
(3)関数y=4x-2^{x+2}+1の-1≦x≦3における最大値と最小値を求めよ．
(4)直方体の各面にさいころのように1から6までの目が書かれている．この直方体を投げて，1,6の目が出る確率はともにpであり，2,3,4,5の目が出る確率はいずれもqである．この直方体を1回投げて，出た目の・・・

　国立 愛媛大学 2012年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
-2&2\
2&1
\end{array})に対して
X=-1/5(A-2E),Y=1/5(A+3E)
とおく．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(1)XY,YX,X2,Y2を計算せよ．
(2)A=aX+bYを満たす実数a,bを求めよ．
(3)自然数nに対してAnを求めよ．

　国立 東京海洋大学 2012年 第5問

空間内に三角形ABCと定点Oを中心とする半径1の球面Sとがある．点PがS上のすべての点を動くときのAP2+BP2+CP2の最大値，最小値をそれぞれM,mとするとき，次の問に答えよ．ただし，三角形ABCの重心GはOG＞1をみたすものとする．
(1)M=AQ2+BQ2+CQ2となるS上の点をQ，m=AR2+BR2+CR2となるS上の点をRとするとき，3点Q，R，Gは1直線上にあるこ・・・

　国立 京都教育大学 2012年 第4問

空間において成分表示された3つのベクトルを
ベクトルa=(\frac{√3+1}{2},1,\frac{√3-1}{2}),ベクトルb=(1,0,1),ベクトルc=(1,0,-1)
とする．これに対して原点Oに関する位置ベクトルが
ベクトルa+(cost)ベクトルb+(sint)ベクトルc
である点Pを考える．次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルa，ベクトルa・ベクトルb，ベクトルa・ベクトルc，ベクトルb・ベクトルb，ベクトルb\cd・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

a,bを実数とする．2次方程式
x2+(a-1)x+b+1=0
が実数解を持ち、すべての解の絶対値が1以下になっているとき，次の問いに答えよ．
(1)点(a,b)が存在する領域をDとする．Dに含まれる
aの最大値は[ア]，最小値は[イ]，
bの最大値は[ウ]，最小値は[エ]である．
(2)領域Dの面積は[オ]である．

　私立 早稲田大学 2012年 第5問

実数aに対して関数f(a)を，
f(a)=∫12|a/x-1|dx
と定める．aが1≦a≦2の範囲を動くとき，f(a)の最小値は[ナ]+[ニ]\sqrt{[ヌ]}であり，最大値は[ネ]+[ノ]log[ハ]である．ただし，[ヌ]，[ハ]はできるだけ小さな自然数で答えること．