「最小値」について

　私立 明治大学 2012年 第3問

次の各設問の[12]から[15]までの空欄に適するものを書け．また，[]には数字を入れよ．
xy平面上で連立不等式3x-y+1≧0,x+3y-3≧0,2x+y-6≦0の表す領域をDとする．
(1)点(x,y)が領域Dを動くとき，3x+2yの最大値は[12]であり，最小値は[13]である．
(2)領域Dは三角形である．この三角形の外接円の中心の座標は([14],[15])であり，半径は[]である．

　私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第2問

aを実数とする．xy平面上の2曲線
\qquadC1:y=ex,C2:y=-e^{1-x}+a
を考える．
C1上の点P(t,et)(t＞0)におけるC1の接線ℓtが，C2上の点Q(s,-e^{1-s}+a)におけるC2の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)tとsの関係式を求めよ．また，aをtを用いて表せ．
(2)C1,ℓtおよびy軸で囲まれた部分の面積をS1(t)とし，C2,ℓtおよびy軸で囲まれた部分の面積をS2・・・

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の空欄に適する数，数式を入れよ．
(1)f(x)=|2sinx-cos2x+1/2|とおく．sinx=[ア]のときf(x)は最大値\frac{[イ]}{[ウ]}をとる．また，sinx=\frac{[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]}のときf(x)は最小値[キ]をとる．
(2)x,y,zは次の条件を満たす実数とする．
0≦x≦y≦z≦4/5,x+2y+z=1
このとき，yの最小値は\frac{[ク]}{\kakko{ケ・・・

　私立 上智大学 2012年 第2問

a,bを実数とし，C1,C2をそれぞれ次の2次関数のグラフとする．
C1:y=x2,C2:y=-(x-a)2+2a+b
(1)C1とC2が共有点をもつための条件をaとbで表すと
a2+[タ]a+[チ]b≦0
となる．特にbのとりうる値の範囲はb≧[ツ]であり，b=[ツ]のときC1とC2はただ1つの共有点([テ],[ト])をもつ．
(2)b=6とし，C1とC2は共有点をもつとすると，
[ナ]≦a≦[ニ]
である．この・・・

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)5個の数字0,1,2,3,4を重複なく使ってできる5桁の整数を小さい方から順に並べたとき，70番目の数を100で割った余りは[ア]である．
(2)16^{log23}=[イ]である．
(3)mn=1024を満たす自然数の組(m,n)は[ウ]通りある．その中で最小のmは[エ]，最小のnは[オ]である．
(4)xの式(1+x+ax2)6を展開したときのx4の係数は，a=[カ]のときに最小値[キ]をとる．

　私立 上智大学 2012年 第1問

xの3次式f(x)=ax3+bx2+cx+dは，0≦θ≦π/2において
f(cosθ)=cos3θ-√3cos2θ
を常に満たすとする．
(1)a=[ア],b=[イ]\sqrt{[ウ]},c=[エ],d=\sqrt{[オ]}である．
(2)0≦θ≦π/2において，cos3θ-√3cos2θは
θ=\frac{[カ]}{[キ]}π　のとき最小値　\frac{[ク]}{[ケ]}\sqrt{[コ]}・・・

　私立 明治大学 2012年 第2問

次の空欄[ア]から[オ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，eは自然対数の底である．必要ならば\lim_{x→∞}\frac{x}{ex}=0.\lim_{x→∞}\frac{x2}{ex}=0を用いてもよい．
関数f(x)=\frac{(x+1)2}{ex}を考える．
(1)f(x)はx=[ア]において最小値[イ]をとる．
(2)kを定数とする．xについての方程式f(x)=kが二つの実数解をもつとき，k=[ウ]である．
(3)曲線y=f(x)の変曲点のx・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄[ア]から[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)方程式(x+3)|x-4|+2x+6=0の解はx=[ア]である．
(2)曲線y=x3-3x2+1上の点(1,-1)における接線が，放物線y=ax2+aと接するとき，a=[イ]である．ただし，a＞0とする．
(3)\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+biとなる実数a,bを求めると，a=[ウ]，b=[エ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(4)白玉4個と赤玉2個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を3個とりだす・・・

　私立 立教大学 2012年 第3問

座標平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cがある．点P(p,0)と点Q(0,q)を通る直線が円C上の点Rにおいて円Cと接している．ただし，p＞1，q＞1とする．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．
(1)qをpを用いて表せ．
(2)線分PRの長さをtとするとき，pとqをtを用いて表せ．
(3)3点O，P，Qを通る円の直径をdとするとき，d2をtを用いて表せ．
(4)dの最小値を求めよ．また，そのときのpの値を求めよ．

　私立 上智大学 2012年 第2問

直線y=x-1上の点A(a,a-1)を通り，放物線y=x2に接する直線を，ℓ,mとする．ただし，ℓの方がmよりも傾きが大きいものとする．
(1)直線ℓの傾きをaで表すと
[キ](a+\sqrt{a2+[ク]a+[ケ]})
である．
(2)直線ℓ,mと放物線y=x2との接点をそれぞれP，Qとする，線分PQと放物線y=x2で囲まれた部分の面積Sをaで表すと，
S=\frac{[コ]}{[サ]}(a2+[シ]a+[ス])^{\frac{・・・