「最小値」について

　国立 岩手大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=\sqrt{3√2+4},y=\sqrt{3√2-4}のとき，x/y+y/xの値を求めよ．
(2)関数f(x)=x2+ax-2a+6のx≧0における最小値が1であるとき，aの値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを2:1に内分する点をD，辺ACを3:5に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比　AB　:　AC　を求めよ．

　国立 金沢大学 2011年 第3問

座標平面上にA(p,q)，B(-q,p)，C(-p,-q)，D(q,-p)を頂点とする正方形がある．ただし，p＞0,q＞0,p2+q2=1とする．また，直線AB，ADが直線x+y=1と交わる点をそれぞれE(r,s)，F(t,u)とする．次の問いに答えよ．
(1)直線AB，ADの方程式をp,qを用いて表せ．
(2)r,s,t,uをp,qを用いて表せ．
(3)k=p+qとおくとき，pqをkの式で表せ．また，k≦√2を示せ．
(4)st-ruをkの式で・・・

　国立 東京工業大学 2011年 第2問

実数xに対して
f(x)=∫0^{π/2}|cost-xsin2t|dt
とおく．
(1)関数f(x)の最小値を求めよ．
(2)定積分∫01f(x)dxを求めよ．

　国立 横浜国立大学 2011年 第5問

xy平面上に直線ℓがある．行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)の表す1次変換fは，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．
\mon[(i)]平面の点のfによる像はすべてℓ上にある．
\mon[(ii)]fはℓの点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)]点Pが円x2-2x+y2-2y+1=0上を動くとき，fによるPの像のx座標は最大値1+√5，最小値1-√5をとる．
次の問いに答えよ．
(1)Aを求めよ．またℓの方程式を求めよ．
(2)(iii)・・・

　国立 筑波大学 2011年 第6問

dを正の定数とする．2点A(-d,0)，B(d,0)からの距離の和が4dである点Pの軌跡として定まる楕円Eを考える．点A，点B，原点Oから楕円E上の点Pまでの距離をそれぞれAP，BP，OPと書く．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)楕円Eの長軸と短軸の長さを求めよ．
(2)　AP　2+　BP　2および　AP　・　BP　を，OPとdを用いて表せ．
(3)点Pが楕円E全体を動くとき，　AP　3+　BP　3の最大値と最小値をdを用いて表せ．

　国立 滋賀大学 2011年 第2問

f(x)=∫1x(t2-6t+8)dtとするとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)=0を満たすxの値を求めよ．
(2)f(x)の0≦x≦5における最大値と最小値を求めよ．また，そのときのxの値を求めよ．
(3)∫_{x}^{x+3}(t2-6t+8)dt=0を満たすxの値を求めよ．

　国立 岩手大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=\sqrt{3√2+4},y=\sqrt{3√2-4}のとき，x/y+y/xの値を求めよ．
(2)関数f(x)=x2+ax-2a+6のx≧0における最小値が1であるとき，aの値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを2:1に内分する点をD，辺ACを3:5に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比　AB　:　AC　を求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第2問

aを実数とする．2次方程式x2+2ax+(a-1)=0の解をα,βとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)αとβは異なる実数であることを示せ．
(2)αとβのうち，少なくとも1つは負であることを示せ．
(3)α≦0,β≦0であるとき，α2+β2の最小値を求めよ．

　国立 徳島大学 2011年 第2問

不等式|x+2y|+|2x-y|≦1の表す領域をDとする．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)領域Dにおけるx-yの最大値および最小値を求めよ．
(3)領域Dにおける|x|-|y|の最大値および最小値を求めよ．

　国立 富山大学 2011年 第1問

放物線C:y=x2-4x+3と直線ℓ:y=mx-mを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)放物線Cと直線ℓが接するときのmの値m0を求めよ．
(2)m＞m0とする．放物線Cと直線ℓおよびy軸で囲まれた図形の面積をS1とし，放物線Cと直線ℓで囲まれた図形の面積をS2とする．S1とS2をそれぞれmを用いて表せ．
(3)m＞m0におけるS2-2S1の最小値，およびそのときのmの値を求めよ．