「最小値」について

　国立 金沢大学 2010年 第2問

座標空間において，中心がA(0,0,a)(a＞0)で半径がrの球面
x2+y2+(z-a)2=r2
は，点B(√5,√5,a)と点(1,0,-1)を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)rとaの値を求めよ．
(2)点P(cost,sint,-1)について，ベクトルベクトルABとベクトルAPを求めよ．さらに内積ベクトルAB・ベクトルAPを求めよ．
(3)△ABPの面積Sをtを用いて表せ．また，tが0≦t≦2πの範囲を動くとき，Sの最小値と，そのときのtの値を求めよ．
\end{e・・・

　国立 名古屋大学 2010年 第1問

座標空間に8点
\begin{eqnarray}
&&　O　(0,0,0),　P　(1,0,0),　Q　(1,1,0),　R　(0,1,0),\nonumber\
&&　A　(0,0,1),　B　(1,0,1),　C　(1,1,1),　D　(0,1,1)\nonumber
\end{eqnarray}
をとり，線分BCの中点をMとする．線分RD上の点をN(0,1,t)とし，3点O，M，Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK，Lとする．
(1)Kの座標をtで表せ．
(2)四面体OKLPの体積をV(t)とする．Nが線分RD上をRからDまで動くとき，V(t・・・

　国立 横浜国立大学 2010年 第1問

実数aに対し，関数
f(x)=cos2x+4acosx+2a+5
を考える．f(x)の最小値をm(a)とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0が解をもたないようなaの範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲のaについて，m(a)を求めよ．
(3)aが(1)で求めた範囲を動くとき，m(a)の最大値を求めよ．また，そのときのaの値を求めよ．
(4)(3)で求めたaに対し，f(x)=m(a)となるxの値を求めよ．

　国立 信州大学 2010年 第3問

関数y=2sin3x+cos2x-2sinx+aの最小値の絶対値が，最大値と一致するように，定数aの値を定めよ．

　国立 筑波大学 2010年 第1問

f(x)=1/3x3-1/2ax2とおく．ただし，a＞0とする．
(1)f(-1)≦f(3)となるaの範囲を求めよ．
(2)f(x)の極小値がf(-1)以下となるaの範囲を求めよ．
(3)-1≦x≦3におけるf(x)の最小値をaを用いて表せ．

　国立 千葉大学 2010年 第4問

aを実数とする．関数f(x)=x2-a|x-2|+\frac{a2}{4}の最小値をaを用いて表せ．

　国立 島根大学 2010年 第3問

a≧0とする．円C1:x2+y2=1と円C2:x2+y2-10x+20-a=0について，次の問いに答えよ．
(1)C1上の点PとC2上の点Qとの距離PQの最小値をaを用いて表せ．
(2)a=11のとき，2つの円C1とC2の共通接線をすべて求めよ．

　国立 琉球大学 2010年 第2問

3点O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(1,2,1)がある．
(1)z軸上の点C(0,0,m)から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるようなmの値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径rを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第5問

0≦x≦2πにおいて，関数f(x)を
f(x)=\frac{2a(sinx+cosx)}{2+2sinxcosx-a(sinx+cosx)}
と定める．ここで，aは0＜a＜2をみたす定数である．このとき，次の問に答えよ．
(1)t=sinx+cosxとおくとき，関数f(x)をtを用いて表せ．
(2)(1)で求めた関数をg(t)とするとき，関数g(t)の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数f(x)が最大値，最小値をとるときのそれぞれのxの値を求めよ．

　国立 山口大学 2010年 第1問

tを実数とし，f(x)=x2+2tx+1とおく．0≦x≦1における関数f(x)の最大値と最小値をそれぞれg(t),h(t)とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)g(t),h(t)をそれぞれtの関数として表しなさい．
(2)∫_{-2}2{g(t)-h(t)}dtの値を求めなさい．