「最小値」について

　国立 電気通信大学 2010年 第2問

座標平面上を運動する動点P(x,y)が時刻tの関数として
x=tcosα,y=tsinα-t2
で与えられているとする．ただし，αは0≦α＜2πを満たす定数とする．直線y=xをℓとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻t=0における動点Pの速度ベクトルvとその大きさ|ベクトルv|を求めよ．
(2)Pが直線ℓ上の点を通る時刻tをすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPがℓ上の点を通るためのαの範囲を求めよ．
以下では，αは(3)・・・

　国立 宇都宮大学 2010年 第4問

関数f(x)を，x≦1のときf(x)=x2と定め，x＞1のときf(x)=2x-1と定める．さらに，実数tに対して
g(t)=∫t^{t+3}f(x)dx
と定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)g(0)を求めよ．
(2)g(t)をtの式で表せ．
(3)関数g(t)の-3≦t≦3における最大値，最小値を求めよ．

　国立 茨城大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)平行四辺形ABCDの辺BCを1:2に内分する点をE，直線AEと対角線BDとの交点をF，直線AEと直線CDとの交点をGとする．ベクトルABをベクトルaで，ベクトルADをベクトルbで表すとき，3つのベクトルベクトルAE,ベクトルAF,ベクトルAGをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)関数g(x)を次式で定める．
g(x)=1/π∫_{-π/2}^{π/2}{xcost+(1-x)sint}2d・・・

　国立 新潟大学 2010年 第1問

四面体OABCにおいて，　OA　=　OB　=　OC　=3，　AB　=　BC　=　CA　=√6である．また，点Pは辺ABをx:1-xに内分し，点Qは辺OCをy:1-yに内分する(0＜x＜1，0＜y＜1)．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとして，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(2)ベクトルPQをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,x,yで表せ．
(3)2点P，Qの間の距離PQの最小値と，そのときのx,yの値を求めよ．

　国立 新潟大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不等式4log4x≦log2(4-x)+1を解け．
(2)(1)で求めたxの範囲において，関数y=9x-4・3x+10の最大値，最小値とそのときのxの値をそれぞれ求めよ．

　国立 山梨大学 2010年 第3問

2つの関数f(x)=x3-6x2+9x,g(x)=x3-3x2+3x-1について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)およびg(x)の増減を調べ，曲線y=f(x)およびy=g(x)を図示せよ．
(2)2つの曲線y=f(x),y=g(x)で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線y=4x+kが共有点を持つとき，kの最小値を求めよ．

　国立 九州工業大学 2010年 第4問

次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，1.09＜log3＜1.10を用いてよい．
(1)すべてのx＞0に対して，不等式
x-\frac{x2}{2}＜log(1+x)
が成り立つことを示せ．
(2)関数f(x)=x-\frac{x2}{3}-log(1+x)の0≦x≦2における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式x-\frac{x2}{3}=log(1+x)は0＜x＜2の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解をα(0＜α＜2)とする．曲線y=x-\frac{x2}{3}と曲線・・・

　国立 琉球大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)tを実数とする．放物線y=x(2-x)上の点(t,t(2-t))における接線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線と放物線y=x(2-x)および2直線x=0,x=3とで囲まれた図形の面積をS(t)とする．0≦t≦2におけるS(t)の最大値，最小値とそのときのtの値を求めよ．

　国立 防衛大学校 2010年 第1問

実数x,yについて，関係式x2+xy+y2=3が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)x+y=s,xy=tとおくとき，tをsの式で表せ．
(2)sのとり得る値の範囲を求めよ．
(3)x2+y2+x+y=kとおくとき，kをsの式で表せ．
(4)kのとり得る値の最大値Mと最小値mを求めよ．

　国立 防衛大学校 2010年 第2問

関数f(x)=3sinx+4cosxについて，次の問に答えよ．ただし，0≦x≦πとする．
(1)f(x)=rsin(x+α)と変形したとき，rの値とcosα,sinαの値を求めよ．ただし，r＞0,-π＜α≦πとする．
(2)f(x)の最大値Mと最小値mを求めよ．
(3)(1)のrとαに対し，f(x)≧r/2となるxの範囲をαを用いて表せ．