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空間内の2点(-1,3,-2),(-3,2,-1)を通る直線ℓがある.x軸上の点Pとℓ上の点Qとの距離が最小になるときのPの座標は(-[55],0,0),Qの座標は(-[56],\frac{[57]}{[58]},\frac{[59]}{[60]})であり,その距離の最小値は\frac{\sqrt{[61]}}{[62]}である.
私立 東京薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ.ただし,*については+,-の1つが入る.
(1)(√2+√3+√7)(√2+√3-√7)(√2-√3+√7)(-√2+√3+√7)=[アイ]
(2)関数f(x)=x3+ax2+bx+5が,x=-2で極大値を,x=1で極小値をとるなら,
a=\frac{[*ウ]}{[エ]},b=[*オ]
である.
(3)座標平面上に原点OとA(3,0),B(0,4)があり,点Pはtを実数として,
ベクトルOP=tベクトルOA+(1・・・
私立 玉川大学 2014年 第3問三角形ABCにおいて,AB=1,AC=1,BC=lとする.AB,AC上にそれぞれ点P,Qをとり線分PQが三角形ABCの面積を二等分するように引く.次の問いに答えよ.
(1)線分APとAQの長さの積AP・AQを求めよ.
(2)∠Aの大きさをαとするとき,cosαをlを用いて表せ.
(3)線分PQの長さが最小となる線分APおよび線分AQの長さを求めよ.また,そのときの線分・・・
私立 名城大学 2014年 第2問△ABCは∠ABC=θ,AB=1,BC=aとする(θは0<θ<π/2の範囲にある定数とし,aは正の実数とする).また,△ABCの外接円の半径をrとする.次の問に答えよ.
(1)線分ACの長さをaとθを用いて表せ.
(2)rをaとθを用いて表せ.
(3)rが最小となるとき,aをθを用いて表せ.また,そのときのrの値を求めよ.
私立 東京理科大学 2014年 第2問kを定数として,3次方程式
x3-3/2x2-6x-k=0・・・・・・(*)
を考える.
(1)この方程式が,異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲は
-[ア][イ]<k<\frac{[ウ]}{[エ]}・・・・・・(**)
である.
(2)kが(**)の範囲にあるとき,方程式(*)の3つの解をα,β,γ(ただしα<β<γ)とおく.
(i)kが(**)の範囲を動くとき,α,β,\ga・・・
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄[ア]~[ス]に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)x2-y2-z2+2yzを因数分解すると,[ア]となる.
(2)sinθ-cosθ=1/2のとき,sinθcosθの値は[イ]である.
(3)3次方程式4x3-23x+39=0の解は,x=[ウ],[エ],[オ]である.
(4)関数f(x)=4x+4^{-x}-3(2x+2^{-x})+2の最小値は[カ]である.
(5)数列1,3,6,10,15,21,・・・の第n項をnの式で表すと\kakko{・・・
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄[ア]~[コ]に当てはまる数または式を記入せよ.
(1){1.6}n>10000を満たす最小の整数nの値は[ア]である.ただし,log_{10}2=0.3010とする.
(2)関数f(x)が等式∫axf(t)dt=x2-6x-2a+16を満たすとき,定数aの値は[イ]である.
(3)4つのさいころを同時に投げたとき,すべてのさいころの目の数が異なる確率は[ウ]である.
(4){(√3)}x=243×3^{-2x}を満たすとき,xの値は[エ]である.
(5)2つの直線・・・
私立 立教大学 2014年 第2問C1を半径1の円とする.円C1に内接する正方形をS1とする.正方形S1に内接する円をC2とする.以下同様に,円Cnに内接する正方形をSnとし,正方形Snに内接する円をC_{n+1}とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)円C2の半径をr2とする.r2を求めよ.
(2)円Cnの半径をrnとする.rnをnの式で表せ.
(3)正方形Snの面積をAnとし,Tn=A1+A2+A3+・・・+Anとする.Tnをnの式で表せ.
(4)Tnが円C1の面積よりも大きくなるような自然数nのうち,最小・・・
公立 首都大学東京 2014年 第2問2次正方行列M=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})についての条件
(*)a=d かつ b=-c
を考える.(*)を満たすMに対して,実数f(M)をf(M)=\sqrt{a2+b2}と定める.以下の問いに答えなさい.
(1)2次正方行列A,Bがともに(*)を満たすならば,積ABも(*)を満たすことを証明しなさい.
(2)2次正方行列A,Bがともに(*)を満たすならば,f(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを証明しなさい.
(3)A=16(\begin{array}{cc}・・・
公立 岩手県立大学 2014年 第1問以下の問いに答えなさい.
y=2(x-1)(x2-2x-2)で与えられる平面上の曲線Cを考える.
(1)曲線Cとx軸との交点の座標をすべて答えなさい.
(2)x=aで曲線Cと接する接線の方程式をaを用いて答えなさい.
(3)x=aで曲線Cと接する接線とy軸との交点のy座標をbとする.-1/4≦a≦3におけるbの最小値と最大値を答えなさい.また,bの値が最小,最大となるときのaの値をそれぞれ答えなさい.