「最小」について

　国立 佐賀大学 2013年 第4問

関数f(x)=xe^{-2x}に関して次の問に答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)曲線y=f(x)の概形をかけ．必要ならば，\lim_{x→∞}xe^{-2x}=0を使ってよい．
(2)曲線y=f(x)の接線のうちで傾きが最小となるものをℓとする．その接線ℓの方程式と接点(a,f(a))を求めよ．
(3)x＜aにおいて，接線ℓは曲線y=f(x)より常に上側にあることを証明せよ．ただし，aは(2)で求めたものとする．
(4)曲線y=f(x)，接線ℓ，およびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．・・・

　国立 和歌山大学 2013年 第1問

数列{an}，{bn}は次の条件を満たしている．
a1=-15,a3=-33,a5=-35，{bn}は{an}の階差数列，{bn}は等差数列
また，Sn=Σ_{k=1}nakとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)一般項an,bnを求めよ．
(2)Snを求めよ．
(3)Snが最小となるときのnを求めよ．

　国立 和歌山大学 2013年 第1問

数列{an}，{bn}は次の条件を満たしている．
a1=-15,a3=-33,a5=-35，{bn}は{an}の階差数列，{bn}は等差数列
また，Sn=Σ_{k=1}nakとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)一般項an,bnを求めよ．
(2)Snを求めよ．
(3)Snが最小となるときのnを求めよ．

　国立 滋賀大学 2013年 第4問

△O1A1B1において辺A1B1，B1O1，O1A1の中点をそれぞれO2，A2，B2とする．次に，△O2A2B2において辺A2B2，B2O2，O2A2の中点をそれぞれO3，A3，B3とする．これをくり返して，△OnAnBnにおいて辺AnBn，BnOn，OnAnの中点・・・

　国立 鳥取大学 2013年 第4問

自然数の数列{an}の隣り合う2項に次の関係式が成り立つ．
\frac{a_{n+1}}{{an}2}=3n(n=1,2,・・・)
また，a1=1である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)bn=log3anとおくとき，bnをnの式で表せ．
(2)an≧10^{100}となる最小のnを求めよ．ただし，log_{10}3=0.4771とする．

　国立 鳥取大学 2013年 第2問

自然数の数列{an}の隣り合う2項に次の関係式が成り立つ．
\frac{a_{n+1}}{{an}2}=3n(n=1,2,・・・)
また，a1=1である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)bn=log3anとおくとき，bnをnの式で表せ．
(2)an≧10^{100}となる最小のnを求めよ．ただし，log_{10}3=0.4771とする．

　国立 島根大学 2013年 第3問

数列{an},{bn}を，a1=1,b1=0,a_{n+1}=1/4an-\frac{√3}{4}bn,b_{n+1}=\frac{√3}{4}an+1/4bnによって定め，座標が(an,bn)である点をCnとする．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．
(1)\overrightarrow{OCn}の大きさ|\overrightarrow{OCn}|を，nを用いて表せ．
(2)\overrightarrow{OCn}と\overrightarrow{OC_{n+1}}のなす角を求めよ．
(3)Snを△OCnC_{n+1}・・・

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第1問

tanα=2，tanβ=5，0＜α,β＜π/2とする．0≦x≦π/2上で関数
f(x)=sin(α+β+x)+cos(α+β+x)
を考える．
(1)sin(α+β),cos(α+β)を求めよ．
(2)tan(α+β+x)の値の範囲を求めよ．
(3)f(x)の最大値，最小値を求めよ．
(4)f(x)が最小となるときのxをγとする．α+β+γ,tanγを求め，β-α＞γ-βとなることを示・・・

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第3問

数列{an}を次のように定める．
a1=a2=a3=1,a_{n+3}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
(1)a_{n+1}≦a_{n+2}≦2anを示せ．
(2)an≦\sqrt{2n}を示せ．
さらに，数列{bn}を
bn={\begin{array}{ll}
0&an　が偶数のとき　\
1&an　が奇数のとき　
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
によって定める．また，自然数kに対して，条件
pk　：すべての自然数　n　について　b_{n+k}=bn・・・

　国立 山形大学 2013年 第3問

R,rを正の実数とし，2r＜R≦3rとする．右図のように，原点\\
Oを中心とする半径Rの固定された円Sの内部に点O´を中心と\\
する半径rの円Tがあり，円Tは円Sに接しながらすべらずに\\
転がるものとする．ただし，点O´は点Oのまわりを反時計まわり\\
に動くものとする．はじめに点O´は(R-r,0)の位置にあり，\\
円T上の点Pは(R,0)の位置にあるとする．x軸の正の部分と\\
動径OO´のなす角がθラジアンのとき，点\te・・・