「最小」について

　国立 群馬大学 2013年 第11問

ベクトルa=(1,2)，ベクトルb=(-1,3)としベクトルp=(1-2t)ベクトルa+tベクトルbとする．tは-1≦t≦1を動くとする．
(1)|ベクトルp|の最大値を求めよ．
(2)|ベクトルp|の最小値を求めよ．
(3)|ベクトルp|が最小となるときのベクトルpを位置ベクトルとする点をMとする．ベクトルaを位置ベクトルとする点をAとするとき，△OAMの面積を求めよ．ただし，Oは原点である．

　国立 福井大学 2013年 第2問

数列{an}が次の関係式を満たしている．
a1=-1,5a_{n+1}-4an=1(n=1,2,3,・・・)
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要であればlog_{10}2=0.3010として計算してよい．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)Sn=Σ_{k=1}nakとおくとき，Snをnの式で表せ．
(3)Sn＞0となる最小のnを求めよ．

　国立 福井大学 2013年 第1問

関数f(x)をf(x)=xsinxとおく．また，曲線y=f(x)上の点(α,f(α))における接線の方程式をy=g(x)とおく．α＞0のとき，以下の問いに答えよ．
(1)g(x)をαを用いて表せ．
(2)直線y=g(x)が原点を通るような最小のαをα1とし，α=α1のときのg(x)をh(x)とおく．α1の値とh(x)を求めよ．
(3)0≦x≦α1においてh(x)≧f(x)であることを示せ．
(4)0≦x≦α1において直線y=h(x)と曲線y=f(x)で囲ま・・・

　国立 防衛医科大学校 2013年 第3問

-∞＜x＜∞で定義される2つの関数f(x)=|cosx|sinx，g(x)=e^{-x}f(x)について，以下の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフを描け．ただし，xの範囲は，0≦x≦4πとせよ．
(2)すべてのxに対し，f(x)=f(x+T)を満たす正の数Tのうち，最小の値\omegaを求めよ．
(3)∫0^{π/2}g(x)dxを求めよ．
(4)極限値\lim_{n→∞}∫0^{n\omega}g(x)dxを求めよ．

　国立 愛媛大学 2013年 第2問

行列(\begin{array}{cc}
5/2&-1/4\
a&b
\end{array})で表される1次変換をfとする．fは3点A(1,m)，B(0,1)，C(m,-1)に対して，次の2つの条件①,②を満たすものとする．ただし，Oは原点である．
①Aのfによる像はA自身である
②Bのfによる像をB´とすると，ベクトルBB´とベクトルOCは垂直であ・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第4問

-1＜x＜1で定義される関数f(x)=2x+\sqrt{5-5x2}について，座標平面上の曲線C:y=f(x)を考える．このとき，次の各問に答えよ．
(1)曲線Cは上に凸であることを示し，f(x)の最大値を求めよ．
(2)曲線C上の点のうち，原点Oとの距離が最大となる点をA，最小となる点をBとするとき，A，Bの座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点A，Bについて，線分OA，線分OB，および曲線Cで囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 長崎大学 2013年 第7問

半径1の円と長さ2の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものをPとする．この図形を下の図1のようにxy平面上に置く．すなわち，中心が点(0,1)，Pが点(0,-1)と一致するように置く．次に，x軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図2は円がθだけ回転したときの状態を表している．0≦θ≦πの範囲で，点Pが描く曲線Cについて考察する．次の問いに答えよ．
\imgc{7132・・・

　国立 東京海洋大学 2013年 第2問

関数f(x)をf(x)=∫01(1-t){a(x-t)+b}dtで定めるとき，次の問に答えよ．
(1)f(x)をa,b,xで表せ．
(2)直線y=ax+bが点(1,1)を通るとき，∫01{f(x)}2dxを最小にするaの値を求めよ．

　国立 東京海洋大学 2013年 第4問

数列{an}を
a1=1,a_{n+1}=27^{n2-3n-9}an(n=1,2,3,・・・)
で定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)anの値が最小となるときのnの値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2013年 第4問

行列(\begin{array}{cc}
5/2&-1/4\
a&b
\end{array})で表される1次変換をfとする．fは3点A(1,m)，B(0,1)，C(m,-1)に対して，次の2つの条件①,②を満たすものとする．ただし，Oは原点である．
①Aのfによる像はA自身である
②Bのfによる像をB´とすると，ベクトルBB´とベクトルOCは垂直であ・・・