「最小」について

　私立 近畿大学 2012年 第2問

∠A={30}°，AB=AC=4をみたす△ABCにおいて，点Cを点P1として，△P1Q1P2が正三角形になるように，辺AB上に点Q1，辺AC上に点P2をとる．次に，図のように，△P2Q2P3が正三角形になるように，辺AB上に点Q2，辺AC上に点P3をとる．以下同様にして，△PnQnP_{n+1}が正三角形になるように，辺AB上・・・

　私立 愛知工業大学 2012年 第1問

次の[]を適当に補え．
(1)|x+1|-3|x-1|=4x+1をみたすxはx=[ア]である．
(2)3つのさいころを同時に投げるとき，2つは同じで他の1つは異なる目が出る確率は[イ]であり，3つとも異なる目が出る確率は[ウ]である．
(3)Sn=Σ_{k=1}n(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})とする．Snをnの式で表すとSn=[エ]であり，Sn＞\frac{2011}{2012}となるような最小の自然数nの値はn=[オ]である．
(4)x・・・

　私立 北海道科学大学 2012年 第11問

xの2次関数y=ax2+4ax+b(a＞0)について次の各問に答えよ．
(1)この関数のグラフの頂点の座標をa,bを用いて表せ．
(2)この関数の値が-3≦x≦2において，最大になるときと最小になるときのxの値をそれぞれ求めよ．
(3)-3≦x≦2におけるこの関数の最大値が3，最小値が-5であるとき，定数a,bの値を求めよ．
(4)(3)のとき，この2次関数のグラフのx軸およびy軸との共有点を求めて，グラフを描け．

　私立 大同大学 2012年 第4問

0＜a＜2，f(x)=x2(x-2)，g(x)=a2(x-2)とする．
(1)曲線y=f(x)と直線y=g(x)の交点のx座標を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線y=g(x)で囲まれる2つの部分の面積の和S(a)を求めよ．
(3)S(a)を最小にするaの値を求めよ．

　公立 県立広島大学 2012年 第3問

数列{an}を
a1=1,a_{n+1}=an-log52n(n=1,2,3,・・・)
によって定める．次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)5^{an}＜10^{-14}を満たす最小のnを求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010とする．

　公立 愛知県立大学 2012年 第4問

A=\biggl(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array}\biggr)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)すべての自然数nについて，
An=\biggl(\begin{array}{cc}
cosnθ&-sinnθ\\
sinnθ&cosnθ
\end{array}\biggr)
となることを数学的帰納法で示せ．
(2)θ=20°のとき，Am=Eとなる最小の自然数mを求めよ．ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)である．
(3)・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2012年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)|x+y+1|≦3で定まる座標平面の領域をDとする．Dを図示せよ．
(2)方程式y=(-1+1/a)xで与えられる直線ℓと，(1)で定めた領域Dの共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線ℓは，どのような方程式で与えられるか．ただし，aは0でない定数とする．

　公立 滋賀県立大学 2012年 第1問

y=x(x-2a)(a＞0)で表される放物線Cがある．Cの頂点Pを通るy軸に平行な直線と，x軸との交点をQとする．また，C上を原点OからPまで動く点をRとし，Rを通りx軸に平行な直線と線分PQとの交点をHとする．
(1)線分OQ，線分PQおよびCで囲まれた領域の面積Sをaを用いて表せ．
(2)線分ORとCで囲まれた領域の面積と，線分RH，線分PHおよびCで囲まれた領域の面積との和をTとするとき，T・・・

　公立 富山県立大学 2012年 第1問

m1,m2,pは定数でm1＜m2とする．放物線C:y=x2-xが2つの直線ℓ1:y=m1x-1，ℓ2:y=m2x-1に接するとき，次の問いに答えよ．
(1)m1,m2の値を求めよ．
(2)C上の点P(p,p2-p)を通るCの接線ℓの方程式をy=ax+b(m1＜a＜m2)とする．pを用いて，定数a,bを表せ．
(3)ℓとℓ1の共有点をA(x1,y1)，ℓとℓ2の共有点をB(x2,y2)とする．線分ABの長さが最小となるときのpの値を求めよ．

　国立 東京大学 2011年 第1問

xの3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dが，3つの条件
f(1)=1,f(-1)=-1,∫_{-1}^{1}(bx2+cx+d)dx=1
を全て満たしているとする．このようなf(x)の中で定積分
I=∫_{-1}^{1/2}{f^{\prime\prime}(x)}2dx
を最小にするものを求め，そのときのIの値を求めよ．ただし，f^{\prime\prime}(x)はf´(x)の導関数を表す．