「最小」について

　国立 一橋大学 2011年 第3問

xy平面上に放物線C:y=-3x2+3と2点A(1,0)，P(0,3p)がある．線分APとCは，Aとは異なる点Qを共有している．
(1)定数pの存在する範囲を求めよ．
(2)S1を，Cと線分AQで囲まれた領域とし，S2を，C，線分QP，およびy軸とで囲まれた領域とする．S1とS2の面積の和が最小となるpの値を求めよ．

　国立 九州大学 2011年 第3問

数列a1,a2,・・・,an,・・・は
a_{n+1}=\frac{2an}{1-an2},n=1,2,3,・・・
をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)a1=\frac{1}{√3}とするとき，一般項anを求めよ．
(2)tanπ/12の値を求めよ．
(3)a1=tanπ/20とするとき，
a_{n+k}=an,n=3,4,5,・・・
をみたす最小の自然数kを求めよ．

　国立 秋田大学 2011年 第2問

円C1:x2+y2=25と円C2:(x-10)2+(y-5)2=50の2つの交点と原点を通る円をC3とする．次の問いに答えよ．
(1)円C3の中心と半径を求めよ．
(2)点P(x,y)が円C3上を動くとき，2y-xの最大値を求めよ．
(3)円C1と円C2の2つの交点を通る円の中心の軌跡を求めよ．
(4)円C1と円C2の2つの交点を通る円をCとする．点Q(x,y)が円C上を動くとき，2y-xの最大値が最小となる円Cの中心と半径を求めよ．

　国立 秋田大学 2011年 第3問

f(x)=\frac{3√3}{4}-sin2x,g(x)=\frac{3√3}{4}-2cosxとする．
(1)関数{f(x)}2-{g(x)}2の不定積分を求めよ．
(2)すべての実数xに対して，不等式sin2x≦a-2cosxが成り立つような定数aの中で最小の値を求めよ．
(3)定積分∫0^π|{f(x)}2-{g(x)}2|dxを求めよ．

　国立 岡山大学 2011年 第3問

平面上の異なる3点O，A，Bは同一直線上にないものとする．この平面上の点Pが
2|ベクトルOP|2-ベクトルOA・ベクトルOP+2ベクトルOB・ベクトルOP-ベクトルOA・ベクトルOB=0
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)Pの軌跡が円となることを示せ．
(2)(1)の円の中心をCとするとき，ベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBで表せ．
(3)Oとの距離が最小となる(1)の円周上の点をP0とする．A，Bが条件
|\ve・・・

　国立 大阪大学 2011年 第1問

aを自然数とする．Oを原点とする座標平面上で行列A=(\begin{array}{cc}
a&-1\\
1&a
\end{array})の表す1次変換をfとする．
(1)r＞0および0≦θ＜2πを用いてA=(\begin{array}{cc}
rcosθ&-rsinθ\\
rsinθ&rcosθ
\end{array})と表すとき，r,cosθ,sinθをaで表せ．
(2)点Q(1,0)に対し，点Qn(n=1,2,3)を
Q1=Q,Q_{n+1}=f(Q・・・

　国立 九州大学 2011年 第2問

数列a1,a2,・・・,an,・・・は
a_{n+1}=\frac{2an}{1-an2},n=1,2,3,・・・
をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)a1=\frac{1}{√3}とするとき，a_{10}およびa_{11}を求めよ．
(2)tanπ/12の値を求めよ．
(3)a1=tanπ/7とする．ak=a1をみたす2以上の自然数kで最小のものを求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第3問

2つの放物線C0:y=-x2とC1:y=(x-1)2について，次の問いに答えよ．
(1)C0上の点(a,-a2)における接線の方程式を求めよ．
(2)C1上に点P(p,(p-1)2)を任意にとるとき，点Pを通りC0に接する直線は2本あることを示せ．
(3)(2)の2本の直線がC0と接する点をA，Bとし，2直線AP，BP及び放物線C0で囲まれた部分の面積をSとするとき，S2が最小となるpの値と，そのときのS2の値を求めよ．

　国立 岩手大学 2011年 第3問

{an}は，初項a1=-1，公差dの等差数列で，{bn}は，初項b1=2011，公比rの等比数列とする．ただし，d≠0,r≠0とする．これらの数列が
anb_{n-1}+3bna_{n-1}-2b_{n-1}=0(n≧2)
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1){an}と{bn}の一般項を求めよ．
(2)|bn|＜|an|となる最小のnの値を求めよ．

　国立 岩手大学 2011年 第3問

{an}は，初項a1=-1，公差dの等差数列で，{bn}は，初項b1=2011，公比rの等比数列とする．ただし，d≠0,r≠0とする．これらの数列が
anb_{n-1}+3bna_{n-1}-2b_{n-1}=0(n≧2)
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1){an}と{bn}の一般項を求めよ．
(2)|bn|＜|an|となる最小のnの値を求めよ．