「最小」について

　国立 徳島大学 2011年 第4問

X=1/4\biggl(\begin{array}{cc}
√6&2√2\\
5√2&2√6
\end{array}\biggr),Y=\biggl(\begin{array}{cc}
-1&√3\\
√3&-2
\end{array}\biggr)のときA=XYとする．行列An(n=1,2,3,・・・)の表す移動によって，点(-108,√3×108)が点Pnに移るとする．log_{10}2=0.3010として，次の問いに答えよ．
(1)A=k\biggl(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array}\bi・・・

　国立 香川大学 2011年 第1問

放物線C1:y=x2と定点P(a,b)（ただし，a2＜b）を通る放物線C2:y=-3x2+2px+qの交点をA，Bとする．点A，Bのx座標をそれぞれα,β(　ただし，　α＜β)とする．2つの放物線C1,C2で囲まれた図形の面積をSとするとき，次の問に答えよ．
(1)Sをa,b,pを用いて表せ．
(2)Sを最小にするpとその最小値をa,bを用いて表せ．
(3)Mを線分ABの中点とする．(2)のとき，線分PMの長さをa,bを用・・・

　国立 山口大学 2011年 第2問

座標平面において，2点A(1,0)，B(2,0)を原点のまわりにθだけ回転した点をそれぞれC，Dとおく，ただし，0＜θ＜π/2とする．点Cを通り直線CDと垂直に交わる直線をℓとし，点Dを通り直線CDと垂直に交わる直線をmとする．また，直線ℓと直線mによりはさまれた領域をSとし，不等式0≦y≦xの表す領域をTとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線ℓ,mの方程式を求めなさい．
(2)θが0＜θ＜π/2の範囲・・・

　国立 佐賀大学 2011年 第3問

xy平面上の原点をOとし，放物線y=k-x2をCとする．ただし，kは1/2より大きい定数とする．C上の点P(t,k-t2)がt≧0の範囲で動くときOPの長さが最小となるPをP0とおく．
(1)P0の座標を求めよ．
(2)OとP0を通る直線と，P0におけるCの接線が直交することを示せ．
(3)OとP0を通る直線の傾きが1のとき，kの値を求めよ．
(4)OとP0を通る直線の傾きが1のとき，xy平面の第1象限にあって，x軸，y軸および放物線Cに接する円のうち小さい方の半径を・・・

　国立 群馬大学 2011年 第5問

自然数kに対し，ak=\frac{(3k+1)(3k+2)}{3k(k+1)}で与えられる数列を考える．
(1)Σ_{k=1}nakをnの式で表す．
(2)数列{ak}からb1=a1,b2=a2+a3+a4,b3=a5+a6+a7+a8+a9,・・・のように，奇数個ずつのakの和をとり数列{bk}を考えるとき，Σ_{k=1}nbk≧675となる最小のnの値を求めよ．

　国立 新潟大学 2011年 第1問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&1
\end{array}\biggr)について，次の問いに答えよ．
(1)A2,A3を求めよ．
(2)An=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)となる最小の自然数nを求めよ．
(3)A+A2+A3+・・・+A^{100}を求めよ．

　国立 福井大学 2011年 第2問

Oを原点とする座標平面上に2点A(4,2)，B(5,0)がある．AをP0とし，P0から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP1，P1から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP2とする．同様にして，自然数nに対して，P_{2n}から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP_{2n+1}，P_{2n+1}から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP_{2n+2}とする．さらに，自然数nに対して，線分P_{n-1}Pnの長さをlnとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)lnをnの式で表せ．
(2)l1+l2+・・・・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫\frac{1}{x2}logxdxおよび∫\frac{1}{x2}(logx)2dxを求めよ．
(2)実数aに対して，曲線y=1/x(a+logx)(1≦x≦e)とx軸および2直線x=1,x=eで囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする．Vをaを用いて表せ．また，aが実数全体を動くとき，Vを最小とするaの値を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2011年 第1問

座標平面上に3点O(0,0)，A(0,1)，B(x,1/2)(x＞0)を考える．ベクトルtベクトルOA+(1-t)ベクトルOBの長さを最小にする実数tの値をt0とし，点HをベクトルOH=t0ベクトルOA+(1-t0)ベクトルOBで定まる点とする．
(1)t0をxを用いて表せ．
(2)Hが線分ABを2等分するとき，xの値を求めよ．
(3)xを動かすとき，△OAHの面積が最大になるxの値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}において，anは小数第1位から小数第n位までの数字が0で小数第(n+1)位から小数第2n位までの数字が9であり，小数第(2n+1)位以降の数字が0である実数とする．ただし，0＜an＜1(n=1,2,3,・・・)とする．また，数列{bn}を，bn=10nan(n=1,2,3,・・・)で定める．
(i)b1,b2,b3を求め，数列{bn}の一般項を求めよ．
(ii)sn=Σ_{k=1}nakとおく．snを求め・・・