「最小」について

　国立 宮城教育大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)定積分S=∫_{-π}^{π}(x-asin3x)2dxが最小になるようなaの値と，そのときのSを求めよ．
(2)定積分T=∫_{-π}^{π}(sin3x-px-qx2)2dxが最小になるようなp,qの値と，そのときのTを求めよ．

　国立 東京海洋大学 2011年 第5問

数列{an}をan=1/nΣ_{k=1}n(p+k/n)2(n=1,2,・・・)で定める．ただし，pは実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数pに対して，an≧1/12(1-\frac{1}{n2})(n=1,2,・・・)が成り立つことを示せ．
(2)p=5/3のとき，an＜5となる最小のnの値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)ある工場の製品が50個あり，その中に不良品が2個だけ含まれている．このとき次の問いに答えよ．
(2)この50個の製品の中から5個を同時に取り出したとき，少なくとも1個の不良品が含まれる確率は[ア]である．
(3)この50個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき，1個以上の不良品が含まれる確率を1/2より大きくなるようにしたい．このときに，取り出す製品の個数は少なくとも[イ]個でなければならない．
\en・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

座標空間の4点O(0,0,0)，A(3,1,0)，B(1,3,0)，C(2,2,3)を頂点とする四面体OABCを考える．
(1)四面体OABCの体積は[コ]である．
(2)辺OC上に動点Pをとる．三角形PABの面積が最小になるとき，P([サ],[シ],[ス])であり，その最小値は[セ]である．
(3)(2)で選んだ点Pを　P　0とし，　P　0から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を　Q　0とする．　Q　0(\・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

数列{an}を次のように定める．\\
(i)a1=0\\
(ii)n=2,3,4,・・・に対し，\\
a_{n-1}≧nのとき，an=a_{n-1}-n\\
a_{n-1}＜nのとき，an=a_{n-1}+n\\
とする．\\
次の設問に答えよ．
(1)a7を求めよ．
(2)ak=kのとき，条件
m＞k,am=m
を満たす最小の整数mをkで表せ．
(3)a_{2011}を求めよ．

　私立 明治大学 2011年 第1問

次の空欄[ア]から[カ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただしlogは自然対数，またeはその底である．
(1)円柱Cの底面の半径をr，高さをhとする．Cの体積がVであるときCの表面積SをrとVで表せば
S=2πr^{[ア]}+2Vr^{[イ]}
となる．したがって体積Vを一定にしたままSを最小にするためには
r=(\frac{V}{[ウ]})^{1/3}
とすればよい．このときrとhの間にはr=[エ]hの関係がある．
(2)次の問いに答えよ．
\beg・・・

　私立 明治大学 2011年 第3問

次の各設問の[13]から[16]までの空欄を埋めよ．
2つの放物線C1:y=x2+3x+2，C2:y=-x2+4x+2と直線ℓ:y=ax+2（aは定数）を考える．直線ℓは，放物線C1,C2とそれぞれ異なる2点で交わるとする．ここで，C1とℓで囲まれた部分の面積とC2とℓで囲まれた部分の面積の和をSとする．
(1)放物線C1と直線ℓの交点のx座標は[13]である．
(2)a=5のとき，S=[14]である．
(3)a=[15]のときSは最小となり，その・・・

　私立 上智大学 2011年 第1問

a,b,cは整数で，a≧1,b≧0,c≧0とする．xの2次式P(x)=ax2+bx+cを考える．
(1)P(1)=2を満たすP(x)は全部で[ア]個存在する．
(2)条件\lceilP(n)=5　を満たす自然数　n　が存在する　\rfloor
を満たすP(x)は全部で[イ]個存在する．
このようなP(x)のうち，P(3)=17を満たすものは
P(x)=[ウ]x2+[エ]x+[オ]
である．
(3)条件
\lceilP(n)=3　を満たす自然数　n　が存在し，　
\qquad\qquad\text{かつ，・・・

　私立 立教大学 2011年 第1問

f(x)=x3+3x2+4とするとき，座標平面上の曲線y=f(x)について，次の問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)の変曲点を求めよ．
(2)点(t,f(t))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線y=f(x)の接線で点(1,a)を通るものがちょうど3本あるようなaの範囲を求めよ．
(4)曲線y=f(x)の接線で点(1,a)を通るものがちょうど2本あるような最小のaに対して，2本の接線と曲線y=f(x)で囲まれる部分の面積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第4問

公正な硬貨Xを3回投げる．「1回目に表が出る」という事象をA，「3回目に表が出る」という事象をB，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象をCとする．このとき，
P(A∩C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]}
である．
次に，硬貨Xが必ずしも公正でなく表の出る確率がa(0＜a＜1)，裏の出る確率が1-aであるとする．この場合の確率をPaで表すとき，
\frac{Pa(A)Pa(B)Pa(C)}{Pa(A∩B∩C)}
を最小にするaの値は\frac{\sqrt{\ka・・・