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次の問いに答えよ.
(1)定積分S=∫_{-π}^{π}(x-asin3x)2dxが最小になるようなaの値と,そのときのSを求めよ.
(2)定積分T=∫_{-π}^{π}(sin3x-px-qx2)2dxが最小になるようなp,qの値と,そのときのTを求めよ.
国立 東京海洋大学 2011年 第5問数列{an}をan=1/nΣ_{k=1}n(p+k/n)2(n=1,2,・・・)で定める.ただし,pは実数とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)すべての実数pに対して,an≧1/12(1-\frac{1}{n2})(n=1,2,・・・)が成り立つことを示せ.
(2)p=5/3のとき,an<5となる最小のnの値を求めよ.
私立 早稲田大学 2011年 第1問次の各問に答えよ.
(1)ある工場の製品が50個あり,その中に不良品が2個だけ含まれている.このとき次の問いに答えよ.
(2)この50個の製品の中から5個を同時に取り出したとき,少なくとも1個の不良品が含まれる確率は[ア]である.
(3)この50個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき,1個以上の不良品が含まれる確率を1/2より大きくなるようにしたい.このときに,取り出す製品の個数は少なくとも[イ]個でなければならない.
\en・・・
私立 早稲田大学 2011年 第2問座標空間の4点O(0,0,0),A(3,1,0),B(1,3,0),C(2,2,3)を頂点とする四面体OABCを考える.
(1)四面体OABCの体積は[コ]である.
(2)辺OC上に動点Pをとる.三角形PABの面積が最小になるとき,P([サ],[シ],[ス])であり,その最小値は[セ]である.
(3)(2)で選んだ点Pを P 0とし, P 0から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を Q 0とする. Q 0(\・・・
私立 早稲田大学 2011年 第3問数列{an}を次のように定める.\\
(i)a1=0\\
(ii)n=2,3,4,・・・に対し,\\
a_{n-1}≧nのとき,an=a_{n-1}-n\\
a_{n-1}<nのとき,an=a_{n-1}+n\\
とする.\\
次の設問に答えよ.
(1)a7を求めよ.
(2)ak=kのとき,条件
m>k,am=m
を満たす最小の整数mをkで表せ.
(3)a_{2011}を求めよ.
私立 明治大学 2011年 第1問次の空欄[ア]から[カ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ.ただしlogは自然対数,またeはその底である.
(1)円柱Cの底面の半径をr,高さをhとする.Cの体積がVであるときCの表面積SをrとVで表せば
S=2πr^{[ア]}+2Vr^{[イ]}
となる.したがって体積Vを一定にしたままSを最小にするためには
r=(\frac{V}{[ウ]})^{1/3}
とすればよい.このときrとhの間にはr=[エ]hの関係がある.
(2)次の問いに答えよ.
\beg・・・
私立 明治大学 2011年 第3問次の各設問の[13]から[16]までの空欄を埋めよ.
2つの放物線C1:y=x2+3x+2,C2:y=-x2+4x+2と直線ℓ:y=ax+2(aは定数)を考える.直線ℓは,放物線C1,C2とそれぞれ異なる2点で交わるとする.ここで,C1とℓで囲まれた部分の面積とC2とℓで囲まれた部分の面積の和をSとする.
(1)放物線C1と直線ℓの交点のx座標は[13]である.
(2)a=5のとき,S=[14]である.
(3)a=[15]のときSは最小となり,その・・・
私立 上智大学 2011年 第1問a,b,cは整数で,a≧1,b≧0,c≧0とする.xの2次式P(x)=ax2+bx+cを考える.
(1)P(1)=2を満たすP(x)は全部で[ア]個存在する.
(2)条件\lceilP(n)=5 を満たす自然数 n が存在する \rfloor
を満たすP(x)は全部で[イ]個存在する.
このようなP(x)のうち,P(3)=17を満たすものは
P(x)=[ウ]x2+[エ]x+[オ]
である.
(3)条件
\lceilP(n)=3 を満たす自然数 n が存在し,
\qquad\qquad\text{かつ,・・・
私立 立教大学 2011年 第1問f(x)=x3+3x2+4とするとき,座標平面上の曲線y=f(x)について,次の問に答えよ.
(1)曲線y=f(x)の変曲点を求めよ.
(2)点(t,f(t))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ.
(3)曲線y=f(x)の接線で点(1,a)を通るものがちょうど3本あるようなaの範囲を求めよ.
(4)曲線y=f(x)の接線で点(1,a)を通るものがちょうど2本あるような最小のaに対して,2本の接線と曲線y=f(x)で囲まれる部分の面積を求めよ.
私立 早稲田大学 2011年 第4問公正な硬貨Xを3回投げる.「1回目に表が出る」という事象をA,「3回目に表が出る」という事象をB,「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象をCとする.このとき,
P(A∩C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]}
である.
次に,硬貨Xが必ずしも公正でなく表の出る確率がa(0<a<1),裏の出る確率が1-aであるとする.この場合の確率をPaで表すとき,
\frac{Pa(A)Pa(B)Pa(C)}{Pa(A∩B∩C)}
を最小にするaの値は\frac{\sqrt{\ka・・・